Esencialmente, esto es lo mismo que contar particiones enteras de [matemáticas] N [/ matemáticas] en exactamente 3 partes [matemáticas] a + b + c = N, \, a \ ge b \ ge c [/ matemáticas] con la restricción añadida que [matemática] a <b + c [/ matemática] necesaria para que [matemática] a, \ b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] sean los lados de un triángulo.
Primero notamos que los valores mínimos para [matemática] a, \, b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son [matemática] a = b = c = 1 [/ matemática] para el triángulo equilátero unitario. Para contar triángulos más grandes, podemos construir a partir de este caso base en 3 posibles pasos diferentes:
- Podemos aumentar tanto [math] b [/ math] como [math] c [/ math] en 1 y, por lo tanto, podemos aumentar [math] a [/ math] en 2, esto es lo máximo que podemos aumentar [math] a [/ math] por porque [math] a <b + c [/ math].
- Podemos aumentar tanto [math] b [/ math] como [math] c [/ math] en 1 y, por lo tanto, podemos aumentar [math] a [/ math] en 1.
- Podemos aumentar [math] b [/ math] en 1 pero como [math] a \ ge b [/ math] también debemos aumentar [math] a [/ math] en 1, en este caso esto es todo lo que podemos hacer porque [matemáticas] a <b + c [/ matemáticas].
Estos 3 pasos pueden considerarse como la adición de bloques al diagrama de partición (disminuyendo ligeramente la altura de izquierda a derecha) como se muestra con un triángulo de ejemplo
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Podemos agregar 2 bloques a la columna [math] a [/ math] y un bloque a cada uno de [math] b [/ math] y [math] c [/ math] (paso 1), o podemos agregar un bloque a la columna [matemática] a [/ matemática] y un bloque a [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] (paso 2), o podemos agregar un bloque a la [matemática] a [ / math] y un bloque a la columna [math] b [/ math] (paso 3). Estos bloques se muestran en este orden arriba.
El paso 1 tiene el efecto de aumentar la diferencia entre los lados [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] y los lados [matemática] a [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] en 1, el paso 2 tiene el efecto de aumentar el tamaño de todas las longitudes en 1 y el paso 3 tiene el efecto de aumentar la diferencia entre los lados [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] en 1. Dado que cada paso es no descomponible (no se puede dividir en un proceso utilizando los otros pasos) un triángulo formado por el siguiente método de construcción será único.
Para construir un triángulo de cualquier tamaño podemos aplicar el paso 1 [matemática] k [/ matemática] veces, luego el paso 2 [matemática] l [/ matemática] veces y luego el paso 3 [matemática] m [/ matemática] veces. El triángulo de la imagen estaba formado por 2 pasos 1, 1 paso 2 y 1 paso 3, como se resalta con los bloques de colores.
Cada paso puede representarse como un polinomio en [matemática] x [/ matemática] cuyos poderes de [matemática] x [/ matemática] nos indican el aumento del perímetro total para cada múltiplo de una aplicación de los pasos 1, 2 y 3.
El polinomio para el paso 1 es [matemáticas] 1 + x ^ {1 \ cdot 4} + x ^ {2 \ cdot 4} + x ^ {3 \ cdot 4} + \ ldots [/ math] porque podemos aplicar el paso 1 0,1,2,3, … veces y en cada múltiplo [matemático] k [/ matemático] del paso 1, el perímetro aumenta en [matemático] k \ cdot 4 [/ matemático].
El polinomio para el paso 2 es [matemáticas] 1 + x ^ {1 \ cdot 3} + x ^ {2 \ cdot 3} + x ^ {3 \ cdot 3} + \ ldots [/ math] porque podemos aplicar el paso 2 0,1,2,3, … veces y en cada múltiplo [matemático] l [/ matemático] del paso 2, el perímetro aumenta en [matemático] l \ cdot 3 [/ matemático].
El polinomio para el paso 3 es [matemáticas] 1 + x ^ {1 \ cdot 2} + x ^ {2 \ cdot 2} + x ^ {3 \ cdot 2} + \ ldots [/ math] porque podemos aplicar el paso 3 0,1,2,3, … veces y en cada múltiplo [matemático] m [/ matemático] del paso 3, el perímetro aumenta en [matemático] m \ cdot 2 [/ matemático].
Para producir un término para cada combinación de pasos, multiplicamos las funciones generadoras
[matemáticas] (1 + x ^ {1 \ cdot 2} + x ^ {2 \ cdot 2} + x ^ {3 \ cdot 2} + \ ldots) (1 + x ^ {1 \ cdot 3} + x ^ {2 \ cdot 3} + x ^ {3 \ cdot 3} + \ ldots) (1 + x ^ {1 \ cdot 4} + x ^ {2 \ cdot 4} + x ^ {3 \ cdot 4} + \ ldots) = [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {1} {1-x ^ 2} \ cdot \ dfrac {1} {1-x ^ 3} \ cdot \ dfrac {1} {1-x ^ 4} = [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {1} {(1-x ^ 2) (1-x ^ 3) (1-x ^ 4)} [/ matemáticas]
Debemos recordar que el triángulo más pequeño tiene un perímetro [matemática] 3 [/ matemática] por lo que debemos multiplicar por [matemática] x ^ 3 [/ matemática] para que todos los términos se desplacen 3 lugares a la derecha en la secuencia que da
[matemáticas] \ dfrac {x ^ 3} {(1-x ^ 2) (1-x ^ 3) (1-x ^ 4)} \ qquad \ blacksquare [/ math]
De modo que el coeficiente de [matemáticas] x ^ N [/ matemáticas] en este polinomio es el número de triángulos no isomórficos (bajo rotación y reflexión) con perímetro [matemáticas] N [/ matemáticas].
Otra forma (más rigurosa) de resolver esto es considerar la ecuación [matemáticas] a + b + c = N [/ matemáticas] con [matemáticas] a \ ge b \ ge c \ ge 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a <b + c [/ math] luego transforma [math] a = a '+ 1, \, b = b' + 1, \, c = c '+ 1 [/ math] para dar
[matemáticas] a ‘+ b’ + c ‘= N-3 [/ matemáticas]
con [matemática] a ‘\ ge b’ \ ge c ‘\ ge 0 [/ matemática] y [matemática] a’ <b '+ c' + 1 [/ matemática] o [matemática] a '\ le b' + c '[/ matemáticas]. Introducción de las variables [matemáticas] \ beta, \, \ gamma, \, \ delta [/ matemáticas] de modo que
[matemática] a ‘= b’ + \ beta, \ qquad b ‘= c’ + \ gamma, \ qquad a ‘+ \ delta = b’ + c ‘[/ matemática] para enteros [matemática] \ beta, \ gamma , \ delta \ ge 0 [/ math]
Sustituir el primero en el tercero da
[matemáticas] \ beta + \ delta = c ‘[/ matemáticas]
sustituyendo el segundo en el primero da
[matemáticas] a ‘= c’ + \ gamma + \ beta [/ matemáticas]
luego usando el resultado para [math] c ‘[/ math] tenemos
[matemáticas] a ‘= 2 \ beta + \ gamma + \ delta [/ matemáticas]
[matemáticas] b ‘= \ beta + \ gamma + \ delta [/ matemáticas]
insertando cada expresión en nuestra ecuación principal da
[matemáticas] 4 \ beta + 3 \ delta + 2 \ gamma = N-3 [/ matemáticas]
De modo que necesitamos contar los vectores de solución entera no negativa [math] (\ beta, \ delta, \ gamma) [/ math] a esta ecuación para enumerar triángulos con perímetro [math] N [/ math]. Es sencillo ver que el coeficiente de nuestra función generadora [matemáticas] (1-x ^ 4) ^ {- 1} (1-x ^ 3) ^ {- 1} (1-x ^ 2) ^ {- 1 } [/ math] producirá términos de la forma [math] x ^ {4 \ beta +3 \ delta + 2 \ gamma} = x ^ {N-3} [/ math] con un coeficiente que enumera los vectores de solución enteros positivos para [matemática] a + b + c = N [/ matemática] así que multiplicando por [matemática] x ^ 3 [/ matemática] el coeficiente del término [matemática] x ^ N [/ matemática] enumera los vectores de solución entera positivos a [matemática] a + b + c = N [/ matemáticas]