Primero vamos a trazar las curvas
Y mira la parte central en detalle.
- ¿Por qué un cuadrilátero tendría triángulos congruentes?
- ¿Cuáles son los usos del Circuncentro de un triángulo en nuestra vida diaria?
- ¿Por qué es imposible demostrar que las líneas paralelas no se encuentran?
- Cómo encontrar el área debajo de la curva
- Cómo calcular la superficie de la elipse que gira alrededor del eje x
Lo primero que debe hacer es encontrar dónde se cruzan las dos curvas. Entonces resuelve
[matemáticas] (\ sqrt {2} -1) \ cos (\ theta) = 1 – \ cos (\ theta) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {2} \ cos (\ theta) = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos (\ theta) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ theta = \ pm \ frac {\ pi} {4} [/ matemáticas]
Podemos encontrar el área en dos partes. La parte dentro del cardioide con \ theta de 0 a [matemática] \ frac {pi} {4} [/ matemática] y la pieza dentro del círculo para \ theta de [matemática] \ frac {pi} {4} [/ matemática ] a [matemáticas] \ frac {pi} {2} [/ matemáticas]. Esta última parte es fácil al encontrar el área del círculo y restar el cuadrado dentro.
Para la parte de la cardiod necesitamos usar la integración. En coordenadas polares quieres la integral
[matemáticas] \ int _ {\ theta = – \ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ int_ {r = r_0} ^ {R} r \ d \ r \ d \ theta [/ math]
[matemáticas] \ int _ {\ theta = – \ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ frac12 R ^ 2 \ d \ theta [/ math]
Ahora [math] R = 1 – \ cos (\ theta) [/ math], entonces [math] R ^ 2 = 1 – 2 \ cos (\ theta) + \ cos ^ 2 (\ theta) = 1 – 2 \ cos (\ theta) + \ frac12 (1 – \ cos (2 \ theta) [/ math]. Entonces la integración se convierte en
[matemáticas] \ int _ {\ theta = – \ frac {\ pi} {4}} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ frac12 – \ cos (\ theta) \ frac14 (1 – \ cos (2 \ theta)) \ d \ theta [/ math]