¿Cuántas diagonales de diferentes longitudes son posibles en un decágono regular convexo?

Answer 1

Un decágono tiene 10 lados y, por lo tanto, 10 vértices. Como el decágono dado es regular, es simétrico bajo rotación a través de [matemáticas] 36 ^ \ circ [/ matemáticas]. Entonces, podríamos determinar el conjunto de longitudes distintas para diagonales de cualquier vértice, y el conjunto de longitudes distintas de diagonales de cualquier otro vértice sería el mismo.

Ahora, tomemos cualquier vértice y giremos el Decágono para que el vértice quede en la horizontal, con el vértice más alejado de él también en la horizontal. Esto es posible porque el número de vértices es par.

El decágono ahora es simétrico respecto a la horizontal. Tiene diagonales a [matemáticas] n-3 [/ matemáticas] puntos (donde n es el número de vértices en el polígono; dado un vértice, lo excluimos y sus dos vecinos inmediatos). Entonces, ahora tenemos 7 diagonales. Si los numeramos en el sentido de las agujas del reloj del 1 al 7, entonces por simetría de espejo a lo largo de la horizontal, las longitudes de las diagonales 1 y 7 son las mismas. Del mismo modo, las diagonales 2 y 6, y 3 y 5 tienen la misma longitud. La diagonal número 4 es la más larga. Entonces, solo tenemos [matemática] \ frac {(n-3) + 1} {2} = \ frac {n-2} {2} [/ matemática] diagonales con longitudes claramente diferentes. Aquí, n = 10. Por lo tanto, tenemos 4 diferentes longitudes posibles para diagonales.

Al considerar los polígonos convexos regulares con un número impar y par de vértices, se puede demostrar fácilmente que la fórmula proporciona el número de diagonales con longitudes distintas

[matemáticas] \ text {Número de diagonales con distintas longitudes} = \ left \ lfloor \ frac {n-2} {2} \ right \ rfloor [/ math]

Answer 2

1. Haz un dibujo de un decágono regular.

1. Por definición, cualquier polígono regular tiene lados iguales y ángulos iguales, por lo que será convexo.

Rotula todos los puntos alrededor del exterior, A, B, C, D, E, F, G, H, I y J.

¿Cuántas diagonales puedes dibujar desde el punto A?

1. C.A.
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   AE
   AF
   AG
   AH
   AI
2. Cuento siete diagonales

¿Recuerdas que un polígono regular tiene simetría en cualquiera de los ejes regulares? Esto significa que

1. longitud AC es igual a longitud AI
2. la longitud AD es igual a la longitud AH
3. longitud AE es igual a longitud AG
4. longitud AF es un eje de simetría.

Entonces, ¿cuántas longitudes diferentes has encontrado hasta ahora?

Un polígono regular también tiene simetría alrededor del origen, alrededor del centro. Esto significa que si gira el decágono para que el punto B esté ahora donde solía estar A, la longitud BD es igual a AC, etc.

En otras palabras, cualquier otra diagonal que puedas dibujar será igual a una de las longitudes que ya hayas encontrado.

¿Cuántas longitudes diferentes encontraste?

Answer 3

En un decágono convexo regular puede tener hasta 35 diagonales [la fórmula es n (n-3) / 2]. Pero cuántas diagonales son desiguales no se puede responder.