No, los ángulos son ángulos, y es solo una cuestión de unidades, que están relacionadas por factores de escala lineal.
Hacemos que la trigonometría y el círculo unitario sean realmente complicados con todo esto. En lugar de 1, o un buen número entero con muchos factores, [matemática] 360 ^ \ circ, [/ matemática] obtenemos un número trascendental complicado, [matemática] 2 \ pi [/ matemática] como la medida del ángulo de la totalidad circulo. En lugar de que un pastel sea todo el círculo, es solo medio círculo; Eso es confuso también. Y le damos a los ángulos las unidades de radianes, una longitud de arco medida como un número de longitudes de radio. Pero el radio es 1 en el círculo unitario, por lo que radianes es una unidad vacía que se puede omitir. Solo algunas maneras hemos tomado algo muy simple y lo hemos desordenado.
Entonces obtenemos
[matemáticas] e ^ {2 \ pi i} = 1 [/ matemáticas]
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como nuestra forma de escribir que si damos la vuelta al círculo de la unidad volveremos a donde comenzamos. Yo llamo a esto la verdadera identidad de Euler. Podríamos intentar deshacernos de [math] \ pi. [/ Math]
Deje que [matemáticas] E = e ^ {2 \ pi} \ aprox. 535.49165552476473650304932958905 [/ matemáticas]
Entonces la verdadera identidad de Euler se convierte
[matemáticas] E ^ i = 1 [/ matemáticas]
Eso funciona. ¿Qué hay de la fórmula de Euler?
[matemáticas] E ^ {i \ theta} = e ^ {2 \ pi i \ theta} = \ sin (2 \ pi \ theta) + i \ cos (2 \ pi \ theta) [/ math]
Los [math] \ pi [/ math] s vuelven a aparecer en las funciones trigonométricas, probablemente donde pertenecen. Al menos podemos limitar el desastre a un solo lugar.
Digamos que siempre quisimos trabajar en grados. Podríamos decir
[matemáticas] D = e ^ {2 \ pi / 360 ^ \ circ} \ aprox 1.01760649120585157557922280038474284126 [/ matemáticas]
¿Qué tal, en cambio, pongamos [math] i [/ math] en la constante esta vez. Entonces obtenemos un número complejo que representa [math] 1 ^ \ circ [/ math] como nuestro caballo de batalla.
[matemáticas] D = e ^ {2 \ pi i / 360 ^ \ circ} \ aprox 0.99984769515 + 0.01745240643 i [/ matemáticas]
La verdadera identidad de Euler: [matemáticas] D ^ {360} = 1. [/ matemáticas] Eso funciona. Obtenemos hechos como:
[matemáticas] D ^ {90} = i [/ matemáticas]
[matemáticas] D ^ {180} = – 1. [/ matemáticas] Obvio, y menos propenso a hacer que la gente sea tonta que [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1. [/ matemáticas]
[matemáticas] D ^ {45} = (1 + i) / \ sqrt {2} [/ matemáticas]
La fórmula de Euler se convierte
[matemáticas] D ^ {\ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas]
donde ahora [math] \ cos [/ math] y [math] \ sin [/ math] se definen en grados.
Realmente, cualquiera de estos sería más fácil que la tortura trascendental que infligimos a nuestros hijos.