¿Cuál es el radio del círculo que es tangente al eje x, el eje y y la línea dada por [math] y = – \ sqrt {3} x + 5 \ sqrt {3} +15 [/ math] ?

Answer 1

Hay pocas soluciones que creo que deben abordarse de una en una.

Llamemos a la intercepción [matemática] x [/ matemática] de la línea complicada [matemática] u [/ matemática] y su intercepción [matemática] y [/ matemática] [matemática] v. [/ Matemática]

[matemáticas] y = -x \ sqrt {3} + 5 \ sqrt {3} +15 [/ matemáticas]

[matemáticas] v = 5 \ sqrt {3} +15 = 5 (3+ \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = -u \ sqrt {3} + v [/ matemáticas]

[matemáticas] u = v / \ sqrt {3} = 5 (1 + \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Comencemos con el círculo en el primer cuadrante inscrito en el triángulo formado por la línea y los ejes.

Primero pensemos en los radios a los puntos tangentes en el eje [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática]. Estos hacen un cuadrado con el origen, todos los lados [matemática] r [/ matemática] Entonces el centro del círculo debe estar en [matemática] y = x. [/ Matemática] Entonces las coordenadas del centro son [matemática] (r , r). [/ matemáticas]

Llamemos a [math] g [/ math] la longitud de [math] x = r [/ math] a [math] x = u. [/ Math] Llamemos a [math] h [/ math] la altura de [math ] y = r [/ matemática] a [matemática] y = v. [/ matemática] Hay tres pares de triángulos congruentes. Podemos escribir las longitudes de los lados de los triángulos grandes en términos de los lados de los tres pares de triángulos:

[matemáticas] r + g = u [/ matemáticas]

[matemáticas] r + h = v [/ matemáticas]

[matemáticas] (g + h) ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (ur + vr) ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] [(u + v) -2r] ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] u ^ 2 + v ^ 2 + 2uv + 4r ^ 2 – 4r (u + v) = u ^ 2 + v ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 2 – r (u + v) + uv / 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ dfrac {1} {2} [(u + v) \ pm \ sqrt {(u + v) ^ 2-2uv}] [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ dfrac {1} {2} [u + v \ pm \ sqrt {u ^ 2 + v ^ 2}] [/ matemáticas]

Entonces aquí

[matemáticas] u + v = 10 (2+ \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] u ^ 2 + v ^ 2 = (u ^ 2 + 3u ^ 2) = 4u ^ 2 = (2u) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] r = 5 (2+ \ sqrt {3}) \ pm 5 (1 + \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

[matemáticas] r = 5 (3 + 2 \ sqrt {3}) [/ matemáticas] o [matemáticas] r = 5 [/ matemáticas]

La primera solución tiene [matemática] g [/ matemática] y [matemática] h, [/ matemática] negativa, pero es perfectamente válida.

Todavía hay soluciones en el segundo y cuarto cuadrante. Más tarde.

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OK, segundo cuadrante. No puedes jugar el truco con los tres pares de triángulos congruentes.

En cambio, intentemos la derivada implícita. El centro es [matemáticas] (- r, r): [/ matemáticas] Pensemos en [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] como el punto donde la línea es tangente al círculo. Esas son nuestras tres incógnitas; Necesitamos tres ecuaciones. La línea es nuestra primera ecuación,

[matemáticas] y = mx + b. [/ matemáticas]

El círculo es nuestra segunda ecuación,

[matemáticas] (x + r) ^ 2 + (años) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

La derivada es igual a la pendiente de la línea en [math] (x, y) [/ math]

[matemática] 2 (x + r) + 2 (año) \ dfrac {dy} {dx} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {x + r} {año} = m [/ matemáticas]

[matemáticas] x + r = -m (año) [/ matemáticas]

[matemáticas] my = mr -r – x [/ matemáticas]

Esa es nuestra tercera ecuación. Eliminamos [math] y [/ math] así:

[matemáticas] m (mx + b) = señor -r – x [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + m ^ 2) x = mr – mb -r [/ matemáticas]

Eliminemos [math] y [/ math] de la ecuación del círculo al obtener primero una expresión para [math] (yr) ^ 2. [/ Math]

[matemáticas] m (año) = – (x + r) [/ matemáticas]

[matemáticas] m ^ 2 (año) ^ 2 = (x + r) ^ 2 [/ matemáticas]

Eso es útil.

[matemática] m ^ 2 (x + r) ^ 2 + m ^ 2 (año) ^ 2 = m ^ 2 r ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] m ^ 2 (x + r) ^ 2 + (x + r) ^ 2 = m ^ 2 r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + m ^ 2) (x + r) ^ 2 = m ^ 2 r ^ 2 [/ matemáticas]

OK, tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas.

[matemáticas] (1 + m ^ 2) x = mr – mb -r [/ matemáticas]

[matemáticas] x + r = \ dfrac {mr -mb-r + r (1 + m ^ 2)} {1 + m ^ 2} = \ dfrac {m (r-b + m)} {1 + m ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] m ^ 2 r ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] (1 + m ^ 2) (x + r) ^ 2 = \ dfrac {m ^ 2 (r-b + m) ^ 2} {1 + m ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] m ^ 2 (1 + m ^ 2) r ^ 2 = m ^ 2 (r + (mb)) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + m ^ 2) r ^ 2 = r ^ 2 + (mb) ^ 2 + 2 r (mb) [/ matemáticas]

[matemática] m ^ 2 r ^ 2 – 2r (mb) – (mb) ^ 2 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] r = \ dfrac {1} {m ^ 2} (mb \ pm \ sqrt {(mb) ^ 2 + m ^ 2 (mb) ^ 2}) = \ dfrac {mb} {m ^ 2} ( 1 \ pm \ sqrt {1 + m ^ 2}) [/ math]

Bueno, es una respuesta. A ver si tiene sentido. [matemática] m = – \ sqrt {3}. [/ matemática] [matemática] b = 5 (3+ \ sqrt {3}). [/ matemática]

[matemática] 1 + m ^ 2 = 4. [/ matemática] [matemática] mb = -15 – 6 \ sqrt {3} = -3 (5 + 2 \ sqrt {3}) [/ matemática]

[matemáticas] r = (-5 -2 \ sqrt {3}) (1 \ pm 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] r = -5-2 \ sqrt {3} [/ matemáticas] o [matemáticas] r = 3 (5 + 2 \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

El radio negativo probablemente corresponde a la solución en el cuarto cuadrante. Meditemos en el cheque.

Answer 2

Hay que hacer cálculos sobre el triángulo rojo. Sus intersecciones x e y son [matemáticas] x = 5 + 5 \ sqrt 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 5 \ sqrt 3 + 15 [/ matemáticas]. Además, su perímetro es [matemáticas] 20 + 10 \ sqrt 3 + 5 \ sqrt {16 + 5 \ sqrt 3} [/ math].

De ahora en adelante, solo para no tener que cargar números espantosos, los guardaré en a, by como [math] a = 5 + 5 \ sqrt 3 [/ math], [math] b = 5 \ sqrt 3 + 15 [/ matemática] y [matemática] s = \ dfrac {{20 + 10 \ sqrt 3 + 5 \ sqrt {16 + 5 \ sqrt 3}}} {2} [/ matemática].

Con respecto al triángulo rojo, un círculo es un círculo y los otros tres son círculos, cada uno con su propio radio, r.

[matemáticas] r_1 = \ dfrac {{ab}} {{2s}} [/ matemáticas].

[matemáticas] r_2 = \ sqrt {\ dfrac {{s \ left ({s – b} \ right) \ left ({s – c} \ right)}} {{s – a}}} [/ math] [/ math] [ matemáticas], [/ matemáticas]

[matemáticas] r_3 = \ sqrt {\ dfrac {{s \ left ({s – b} \ right) \ left ({s – a} \ right)}} {{s – c}}} [/ math]

[matemáticas] r_4 = \ sqrt {\ dfrac {{s \ left ({s – a} \ right) \ left ({s – c} \ right)}} {{s – b}}} [/ math]

Ahora, conéctate. ¡Disfruta!

Answer 3

La ecuación de la línea es y + \ sqrt 3 x- 5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3) ……… (1)

Hay 2 círculos en el primer cuadrante, uno en el segundo y otro en el cuarto. Sea r el radio del círculo en todos los casos r> 0.

Primer cuadrante

El centro del círculo es [matemáticas] (r, r) [/ matemáticas]

[matemática] \ perp [/ matemática] la distancia de C desde la línea es

[matemáticas] p = \ dfrac {r + \ sqrt 3 r- 5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {\ sqrt {1 + 3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(r- 5 \ sqrt 3) (1+ \ sqrt 3)} {2} [/ matemáticas]

p> 0 en el lado derecho de la línea y <0 en el lado izquierdo.

[matemáticas] \ dfrac {(r- 5 \ sqrt 3) (1+ \ sqrt 3)} {2} = \ pm r [/ matemáticas]

[matemáticas] (r- 5 \ sqrt 3) (1+ \ sqrt 3) = \ pm 2r [/ matemáticas]

r ([matemáticas] 1+ \ sqrt 3 \ pm 2) = 5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ dfrac {5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {1+ \ sqrt 3 \ pm 2} [/ matemáticas]

es decir, [matemática] r = \ dfrac {5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {3+ \ sqrt 3} o \ dfrac {5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {\ sqrt 3-1 } \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] r = 5 [/ matemáticas] o [matemáticas] r = 5 \ sqrt 3 (2+ \ sqrt 3) [/ matemáticas]

Segundo cuadrante

Aquí [matemáticas] C = (- r, r) [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ dfrac {r- \ sqrt 3 r- 5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {2} = – r [/ matemáticas] ya que el centro C está en el lado izquierdo de la línea, desde cual

[matemáticas] r = \ dfrac {5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {3- \ sqrt 3} = 5 (2+ \ sqrt 3) [/ matemáticas]

Cuarto cuadrante

Aquí [matemáticas] C = (r, -r) [/ matemáticas]

[matemáticas] p = \ dfrac {-r + \ sqrt 3 r- 5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {2} = – r [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ dfrac {5 \ sqrt 3 (1+ \ sqrt 3)} {1+ \ sqrt 3} = 5 \ sqrt 3 [/ matemáticas]

Answer 4

Deje que el círculo sea [matemáticas] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

La longitud de la perpendicular desde el centro hasta los ejes de coordenadas debe ser igual al radio del círculo. Por lo tanto, [matemáticas] | h | = | k | = r. [/ Matemáticas]

De la figura, creo, puede haber 2 pares de puntos (solo una suposición) en el primer cuadrante y 1 cada uno en el segundo y cuarto cuadrante que califican para ser el centro.

Supongamos que el centro está en el primer cuadrante. Entonces,

[matemáticas] r = | \ frac {-r \ sqrt {3} -r + 5 \ sqrt 3 + 15} {\ sqrt {1 ^ 2 + {(- \ sqrt 3)} ^ 2}} | [/ math ]

[matemáticas] 2r = | -r \ sqrt {3} -r + 5 \ sqrt 3 + 15 | = | r (\ sqrt 3 -1) + (5 \ sqrt 3 + 15) | [/ math]

Al cuadrar ambos lados,

[matemáticas] 4r ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = r ^ 2 (\ sqrt 3 +1) ^ 2 + (5 \ sqrt 3 + 15) ^ 2 – 2r (\ sqrt 3 +1) (5 \ sqrt 3 + 15) [/ matemáticas]

Considerando las raíces,

[matemáticas] r = h = k = 5 [/ matemáticas]

o [matemáticas] r = h = k = 32.32051 [/ matemáticas]

Para ubicar el centro en el segundo (4to) cuadrante, trate [matemática] h (k) [/ matemática] como un número negativo.

Answer 5

* A2A

Usaré una fórmula de la vieja escuela.

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac xa + \ dfrac yb & = 1 \ qquad [\ text {forma simétrica de una línea recta}] \\ y + \ sqrt3x & = 5 \ sqrt3 + 15 \\\ dfrac {\ sqrt3} { 5 \ sqrt3 + 15} x + \ dfrac y {5 \ sqrt3 + 15} & = 1 \\ x- \ text {Intercepción:} x & = 5 + \ dfrac {15} {\ sqrt3} = \ boxed {5 + 5 \ sqrt3} \\ y- \ text {Intercepción:} y & = \ boxed {5 \ sqrt3 + 15} \\\ text {Hipotenuse} & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \\ & = \ sqrt {25 + 50 \ sqrt3 + 75 + 75 + 150 \ sqrt3 + 225} \\ & = \ sqrt {400 + 200 \ sqrt3} \\ & = 10 \ sqrt {4 + 2 \ sqrt3} \\\ hline \ text {Área del triángulo A} & = \ dfrac12xy = \ dfrac {25} 2 (1+ \ sqrt3) (3+ \ sqrt3) \\\ text {Radio del círculo inscrito} r & = \ dfrac {A} {\ dfrac12 (a + b + c)} \\ & = \ dfrac {25 (1+ \ sqrt3) (3+ \ sqrt3)} {20 + 10 \ sqrt3 + 10 \ sqrt {4 + 2 \ sqrt3}} \\ & = \ dfrac {5 (3+ \ sqrt3 + 3 \ sqrt3 + 3)} {4 + 2 \ sqrt3 + 2 \ sqrt {(1 + 2 \ sqrt3 + 3)}} \\ & = \ dfrac {5 (3 +2 \ sqrt3)} {2+ \ sqrt3 + \ sqrt {(1+ \ sqrt3) ^ 2}} \\ & = \ dfrac {5 (3 + 2 \ sqrt3)} {3 + 2 \ sqrt3} \\ & = 5 \ end {align} \ tag * {} [/ math]