¿Cuál es una explicación intuitiva de por qué todos los acordes entre n puntos en un círculo lo dividen a lo sumo en [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ 4 {n-1 \ elegir i} [/ matemáticas]?

Answer 1

Hay [math] 1 [/ math] región original (todo el círculo) cuando no se dibujan acordes. Esto es [matemáticas] \ binom {n-1} {0} [/ matemáticas].

Para cada acorde que se dibuja, imagínelo comenzando en un punto y yendo a otro punto. En el punto donde comienza, agrega la región [matemática] 1 [/ matemática] (dividiendo esa región en [matemática] 2 [/ matemática]). Hay [math] \ binom {n} {2} [/ math] tales acordes, ya que cada acorde se identifica de forma única por [math] 2 [/ math] de los puntos [math] n [/ math]. Esto es [matemáticas] \ binom {n-1} {1} + \ binom {n-1} {2} [/ matemáticas], de acuerdo con la regla de Pascal.

Para cada subconjunto de [matemática] 4 [/ matemática] puntos elegidos entre los [matemática] n [/ matemática] puntos en el círculo, hay [matemática] \ binom {4} {2} = 6 [/ matemática] acordes dibujados utilizarlos. Hay exactamente [matemática] 1 [/ matemática] intersección de acordes para cada subconjunto de [matemática] 6 [/ matemática] acordes, y todas las intersecciones de acordes se cubren exactamente una vez al elegir todas las combinaciones de [matemática] 4 [/ matemática] puntos. Cada vez que un acorde se cruza con otro acorde, se agrega la región [matemática] 1 [/ matemática] (dividiendo una región en [matemática] 2 [/ matemática]). Hay [matemática] \ binom {n} {4} [/ matemática] formas de elegir [matemática] 4 [/ matemática] puntos de [matemática] n [/ matemática], cada uno de los cuales agrega una región basada en el correspondiente intersección de acordes. Esto es [matemáticas] \ binom {n-1} {3} + \ binom {n-1} {4} [/ matemáticas], de acuerdo con la regla de Pascal.

Al juntar la explicación, el círculo se puede cortar como máximo [matemáticas] \ binom {n-1} {0} + [\ binom {n-1} {1} + \ binom {n-1} {2}] + [\ binom {n-1} {3} + \ binom {n-1} {4}] = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {4} {\ binom {n-1} {i}} [/ math] regiones totales. Esto coincide con la premisa de la pregunta.

Curiosamente, el enfoque anterior es probablemente similar al enfoque utilizado para conjeturar el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser cortada por todos los planos [matemáticos] \ binom {n} {3} [/ matemáticos] entre [matemáticos] n [ / matemáticas] puntos en la superficie de la esfera. Este máximo conjeturado ([matemáticas] 1+ \ binom {n} {3} +6 \ binom {n} {4} +10 \ binom {n} {6} +280 \ binom {n} {9} [/ matemáticas ]) se muestra en A144841 – OEIS.

Answer 2

Veamos cuántas regiones adicionales se crean agregando el punto [math] n ^ {\ text {th}} [/ math]. Por supuesto, crea [matemáticas] (n-1) [/ matemáticas] líneas adicionales a los nodos existentes. Si una línea atraviesa una región existente, crea una nueva. Entonces, si intersecta 3 líneas existentes, crea 4 regiones adicionales. Cada punto de color marca el nuevo divisor de dos regiones anteriormente unidas:

Por ejemplo, el punto [matemáticas] 4 ^ {\ text {th}} [/ matemáticas] crea tres líneas adicionales:

de los cuales [math] \ color {red} {\ text {first line}} [/ math] crea una región adicional, [math] \ color {green} {\ text {second line}} [/ math] dos regiones adicionales, y [math] \ color {blue} {\ text {third line}} [/ math] nuevamente crea una región extra: 1 + 2 + 1 = 4

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Como se dijo, las regiones adicionales creadas por cada línea son iguales a una más las intersecciones que tiene con las líneas existentes. Este número de intersecciones es simplemente el producto de los nodos a la izquierda de esta nueva línea y a la derecha de cada nueva línea.

Entonces, para el punto [matemáticas] 6 ^ {\ text {th}} [/ matemáticas] ([matemáticas] n = 6 [/ matemáticas]), y el [matemáticas] 2 ^ {\ texto {nd}} [/ matemáticas ] línea ([matemática] k = 2 [/ matemática]), tenemos un nodo a la izquierda ([matemática] k = 1 [/ matemática]) y tres a la derecha ([matemática] k = 3,4,5 [/ math]), entonces tenemos [math] 1 \ times 3 = 3 [/ math] intersecciones, y por lo tanto [math] 3 + 1 = 4 [/ math] regiones adicionales (marcadas por los cuatro puntos amarillos):

En general, las regiones adicionales por línea son: [matemáticas] (k-1) \ veces (nk-1) + 1 [/ matemáticas]

Entonces, para agregar el nodo [math] n ^ {th} [/ math], las regiones adicionales [math] E (n) [/ math] son:

[matemáticas] E (n) = \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ left ((k-1) (nk-1) + 1 \ right) = \ frac {n ^ 3-6 n ^ 2 + 17 n-12} {6} [/ matemáticas]

Esto hace que el número total de regiones [matemáticas] T (n) [/ matemáticas], sea igual

[matemáticas] T (n) = 1 + \ sum_ {m = 2} ^ n \ left (\ frac {m ^ 3-6 m ^ 2 + 17 m-12} {6} \ right) = 1 + \ frac {n (n ^ 3-6 n ^ 2 + 23 n-18)} {24} [/ matemáticas]

La confusión con los poderes de 2

Para [math] n \ in \ {2,3,4,5 \} [/ math], la lista de regiones adicionales creadas por línea es (accidentalmente) igual a una fila del triángulo de Pascal:

[matemáticas] \ {\ binom {n-2} {0}, \ binom {n-2} {1}, \ cdots, \ binom {n-2} {n-2} \} [/ matemáticas]

Y desde la suma de una fila de Pascal, siempre es una potencia de dos:

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n-2} \ binom {n-2} {k} = 2 ^ {n-2} [/ matemáticas]

luego, junto con la región inicial (el círculo en sí mismo sin líneas adicionales), la suma acumulativa de estos nuevamente produce una potencia de dos:

[matemáticas] 1 + \ sum_ {n = 2} ^ {m} \ sum_ {k = 0} ^ {n-2} \ binom {n-2} {k} = 1 + (2 ^ {m-1} -1) = 2 ^ {m-1} [/ matemáticas]

Sin embargo, desde el punto [math] 6 ^ {\ text {th}} [/ math] y más, la partición ya no es la misma que una fila Pascal:

Por lo tanto, el patrón (coincidente) de poderes de dos ya no existe.

Answer 3

Es fácil de explicar con [matemáticas] \ binom {n} {0} + \ binom {n} {2} + \ binom {n} {4} = \ binom {n-1} {0} + \ binom { n-1} {1} + \ binom {n-1} {2} + \ binom {n-1} {3} + \ binom {n-1} {4}. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ binom {n} {0} [/ matemáticas] porque comienza con una región: el círculo mismo.

[matemática] \ binom {n} {2} [/ matemática] porque cada 2 puntos definen una línea, y cada línea agregará al menos (podría ser más debido a la intersección con otras líneas) una región.

[matemática] \ binom {n} {4} [/ matemática] porque cada 4 puntos definen un punto de intersección, y cada punto de intersección agregará nuevamente como máximo una región.

También sabemos que si no hay puntos superpuestos, la razón por la que no se alcanza el máximo se debe a los puntos de intersección superpuestos.