El OP solicitó una solución no algebraica. La prueba geométrica está bastante involucrada, pero, para su referencia, aquí está: https://farside.ph.utexas.edu/bo… – consulte el Volumen III.
Los griegos trataron con los números como reflejos de cosas en la naturaleza. También encontraron extremadamente productivo definir las cosas como proporciones de otras cosas. Su mundo estaba compuesto de razones (por lo tanto, razón final ), por lo que necesariamente adoptaron un enfoque geométrico para determinar si [math] Sqrt (2) [/ math] era racional. Fue un desafío fundamental (e inquietante) para su visión del mundo encontrar que algo tan ordinario como la diagonal de un cuadrado unitario no pudiera expresarse como una relación de números naturales.
Sin embargo, la forma probada y verdadera (y más fácil) de hacer esto es:
[matemáticas] Sqrt (2) = a / b [/ matemáticas]
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Donde MCD (a, b) es [matemática] 1 [/ matemática]…. (hacer la fracción más baja del término).
[matemáticas] Sqrt (2) b = a [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 b ^ 2 = a ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces a debe ser par, ya que [math] a ^ 2 [/ math] es.
Deje [matemáticas] a = 2 c [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 b ^ 2 = 4 c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] b ^ 2 = 2 c ^ 2 [/ matemáticas]
Como [math] b ^ 2 [/ math] es par, b debe ser par también.
Pero, tanto a como b no pueden ser iguales, ya que se estipuló que su MCD es [matemática] 1 [/ matemática].
- ¡Así [math] Sqrt (2) [/ math] no es un número racional!