Los objetos geométricos sobre campos finitos se han estudiado durante muchos años (al menos desde la década de 1950 cuando Beniamino Segre demostró su teorema sobre los óvalos), y por lo tanto hay varios libros introductorios y artículos sobre el tema. Aquí hay algunas sugerencias:
- Geometrías finitas?
- Una introducción a la geometría finita por Simeon Ball y Zsusza Weiner
- Geometría de Incidencia por Eric Moorhouse
- Combinatoria de geometrías finitas, por LM Batten
- Geometría finita y aplicaciones combinatorias de Simeon Ball
- Espacios proyectivos y polares de Peter Cameron
- Geometría proyectiva: de los cimientos a las aplicaciones de Albrecht Beutelspacher y Ute Rosenbaum
Si bien podemos hablar de varias geometrías finitas abstractas interesantes, las que su profesor estaba insinuando se llaman geometrías de Galois. Para comprenderlos realmente, debe sentirse cómodo con la noción de campos finitos y espacio vectorial. La idea básica es que muchas nociones geométricas como subespacios afines, cónicas y cuádricas se pueden definir sobre campos arbitrarios. Pero cuando miramos estos sobre campos finitos, también se convierten en objetos combinatorios y, por lo tanto, tiene sentido estudiar propiedades como el número de puntos contenidos en estos objetos. De hecho, podemos definir algunas nociones combinatorias interesantes en estas geometrías finitas que son triviales en el caso infinito; ver por ejemplo Bloqueo de conjuntos y Unitales. El estudio de estos objetos ha sido motivado por su belleza intrínseca y algunas aplicaciones importantes en otras áreas.
Las aplicaciones más comunes de geometrías finitas están en el área de la teoría de la codificación, ya que un código (lineal) no es más que un subespacio de un espacio vectorial de dimensiones finitas sobre un campo finito finito. Por ejemplo, los llamados códigos MDS son básicamente objetos geométricos finitos y los resultados más importantes sobre ellos, incluidas las construcciones, se obtienen utilizando geometría finita. Vea esta encuesta y las referencias en ella.
También puede ver las siguientes respuestas mías para tener una idea más clara de por qué las personas se preocupan por la geometría finita: la respuesta de Anurag Bishnoi a ¿Cuál es el significado del plano proyectivo en matemáticas ?, ¿La respuesta de Anurag Bishnoi a Por qué es importante la geometría de la incidencia?
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