P1 y P2 son puntos en la parábola x ^ 2 = 4ay, con los parámetros p, p-1 respectivamente. P1T y P2T son tangentes. ¿Cómo muestro que el lugar geométrico de T es x ^ 2 = 4a (y + a / 4)?

Answer 1

Comenzando con las dos ecuaciones para la tangente

[matemáticas] y = px – ap ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = px – x – a (p-1) ^ 2 [/ matemáticas] (tenga en cuenta que le falta un signo menos)

Idealmente, queremos eliminar p, pero eso es complicado. En su lugar, resolveremos para obtener x, y en términos de p y verificaremos que esto funcione con la ecuación para el locus.

Expande el segundo

[matemáticas] y = px – x – ap ^ 2 + 2 ap – a [/ matemáticas]

restar el primero

[matemáticas] 0 = – x + 2 ap – a [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] x = 2 ap – a [/ matemáticas]

sustituir en el primero

[matemáticas] y = p (2 ap – a) – ap ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = ap ^ 2 – ap [/ matemáticas]

Ahora sustituya ambos en [matemáticas] x ^ 2 = 4 a (y + a / 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] (2 ap – a) ^ 2 = 4 a (ap ^ 2 – ap + a / 4) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 a ^ 2 p ^ 2 – 4 a ^ 2 p + a ^ 2 = 4 a ^ 2 p ^ 2 – 4 a ^ 2 p + a ^ 2 [/ matemáticas]

QED