¿Cuál es la longitud del lado de un polígono regular si la diagonal que enfrenta 5 lados consecutivos es de 10 cm de longitud?

Answer 1

Las siguientes fórmulas / propiedades se pueden usar para desarrollar cálculos para polígonos regulares donde,

a = longitud del lado, r = radio (apotema), R = circunradio, A = área, P = perímetro, x = ángulo interior, y = ángulo exterior yn = número de lados.

1. [matemática] Longitud lateral: a = 2r \ tan \ dfrac {π} {n} = 2R \ sin \ dfrac {π} {n} [/ matemática]
2. [matemáticas] Inradius: r = \ dfrac {1} {2} a \ cot \ dfrac {π} {n} = R \ cos \ dfrac {π} {n} [/ matemáticas]
3. [matemáticas] Circumradius: R = \ dfrac {1} {2} a \ csc \ dfrac {π} {n} = r \ sec \ dfrac {π} {n} [/ math]
4. [matemáticas] Área: A = \ dfrac {1} {4} na ^ 2 \ cot \ dfrac {π} {n} = nr ^ 2 \ tan \ dfrac {π} {n} [/ matemáticas]
5. [matemáticas] Perímetro: P = na [/ matemáticas]
6. [matemáticas] Ángulo interior: x = \ dfrac {(n-2) π} {n} radianes = \ dfrac {(n-2)} {n} 180 grados [/ matemáticas]
7. [matemáticas] Ángulo exterior: y = \ dfrac {2π} {n} radianes = \ dfrac {360} {n} grados [/ matemáticas]

Nuestro polígono puede tener cualquier número de lados por encima de 5, de ahí muchas soluciones.

Pero para obtener una solución única a un problema dado, consideramos que los datos dados son de un decágono regular,

(asumiendo decágono)

Además obtenemos circunradio como la mitad de la medida de la diagonal (conectando la mitad del número de lados) R = 10/2 = 5;

Por lo tanto, [math] \ boxed {R = 5} [/ math]

Por lo tanto,

Usando la primera propiedad,

[matemática] Longitud lateral: a = 2R \ sin \ dfrac {π} {n} = 2 * 5 * \ sin18 [/ matemática]

[matemáticas] = 3.090169944 [/ matemáticas]

¡¡Espero eso ayude!!

[matemática] \ Enorme {\ Enorme {\ Enorme {\ color {azul} {{\ ddot \ smile} {\ ddot \ smile}}}}} [/ math]

[matemáticas] \ Enormes {\ Enormes {\ Enormes {\ Enormes {\ color {# 0f0} {\ marca de verificación}}}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Enorme {¡Paz!} [/ matemáticas]

Answer 2

Para un polígono con n lados, cada lado tendrá una longitud [matemática] 10 \ csc (\ frac {5 \ pi} {n}) \ sin (\ frac {\ pi} {n}) [/ matemática].

Así es como lo sabemos:

Resolvemos R en el triángulo representado usando la Ley de los senos:

[matemáticas] \ frac {R} {\ sin (\ frac {\ pi} {2} – \ frac {5 \ pi} {n})} = \ frac {10} {\ sin (\ frac {10 \ pi } {n})} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {R} {\ cos (\ frac {5 \ pi} {n})} = \ frac {10} {\ sin (\ frac {10 \ pi} {n})} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align *} R & = \ frac {10 \ cos (\ frac {5 \ pi} {n})} {\ sin (\ frac {10 \ pi} {n})} \\ & = \ frac {10 \ cos (\ frac {5 \ pi} {n})} {2 \ sin (\ frac {5 \ pi} {n}) \ cos (\ frac {5 \ pi} {n})} \\ & = 5 \ csc (\ frac {5 \ pi} {n}) \ end {align *} [/ math]

Finalmente, conectamos esto a la fórmula para la longitud de los lados en términos de circunradio proporcionada tan útilmente por Syed Ali Asgar para obtener la fórmula al comienzo de esta respuesta.

Answer 3

10.sin (18 °) = 3.09 .. cm