¿Cuál es la relación entre la altura más baja de un triángulo general y el radio de su círculo?

Answer 1

El área ([matemáticas] A [/ matemáticas]) de un triángulo viene dada por la fórmula

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} \ times \ text {base} \ times \ text {height}. [/matemáticas]

Entonces [math] \ text {height} = \ frac {2A} {\ text {base}}. [/ Math]

Entonces, la altura más baja (llamémosla [math] h_ {min} [/ math]) corresponde a la base más grande. En otras palabras, obtenemos la altura más baja cuando el lado más grande del triángulo (llamemos a esto [matemáticas] \ text {lado} _ {max} [/ matemáticas]) se trata como la base.

Ahora, si [math] r [/ math] es el radio del círculo, y [math] s [/ math] es el semiperímetro, entonces,

[matemáticas] \ Delta ABC = \ Delta AOC + \ Delta BOC + \ Delta AOB [/ math]

[math] = \ frac {OF \ times AC} {2} + \ frac {OE \ times BC} {2} + \ frac {OD \ times AB} {2} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {br} {2} + \ frac {ar} {2} + \ frac {cr} {2} = r \ left (\ frac {a + b + c} {2} \ right) = rs [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] h_ {min} = \ frac {2A} {\ text {side} _ {max}} = \ frac {2rs} {\ text {side} _ {max}} = \ frac {r \ times \ text {perímetro}} {\ text {side} _ {max}}. [/ math]

Entonces, [matemática] \ frac {r} {h_ {min}} = \ frac {\ text {side} _ {max}} {\ text {perimeter}} [/ math].

Entonces, en un triángulo dado, la razón del radio en el interior a su altura más baja es igual a la proporción relativa de su lado más grande a su perímetro.

Answer 2

Área del triángulo = b * h / 2 y también = (en radio) (semiperímetro) = k * s, donde k = en radio y s = semiperímetro. Digamos que los tres lados son a, b & c y h es la altitud al lado b en la leyenda normal de un triángulo. Entonces, b * h / 2 = k * s = k * (a + b + c) / 2 o b * h = k (a + b + c) o k = b * h / (a ​​+ b + c) . También k = Área del Triángulo / Semiperímetro.