¿Por qué no puedes desplegar una esfera? ¿No es la superficie de la esfera bidimensional?

Answer 1

Como John Steele mencionó, la razón por la que no podemos “desplegar” la superficie de una esfera (es decir, según entiendo, colocarla sobre una superficie plana) tiene que ver con la curvatura gaussiana de la superficie. Doblar o incluso romper la superficie en pedazos no cambiará esta curvatura. La superficie de una esfera y la de una superficie plana tienen curvaturas gaussianas fundamentalmente diferentes que hacen que esto sea imposible.

Considere extender un radio hacia afuera desde un punto y dibuje un círculo en este radio. En una superficie plana (es decir, euclidiana), medimos que tiene una longitud de 2πr. Sin embargo, en la superficie de una esfera siempre mediremos una longitud menor que esta. Como un ejemplo extremo para ilustrar esto es cierto, podemos imaginar comenzar en el polo norte y tener un radio que se extienda hasta el polo sur: en este radio fijo el círculo tendría una longitud cero, bastante diferente al mismo radio en espacio euclidiano

Entonces, si queremos presionar alguna sección de una superficie esférica sobre una superficie plana, se hace evidente que tendremos que rasgarla en algún punto porque tenemos una circunferencia más pequeña en nuestra sección que la superficie plana. Sin embargo, a lo que llega la curvatura gaussiana es a que este fenómeno existe en el espacio mismo, hasta un límite infinitesimal. No solo tendríamos que rasgar nuestra superficie a lo largo de un punto para aplanarla; termina por tener que romper todos los puntos de ese espacio. Estoy seguro de que podría imaginar cómo esto es problemático para nuestro “despliegue” ideal de la superficie: no es una gran transformación si necesitamos romperlo en pedazos infinitesimales.

Answer 2

Si por desplegar te refieres a transformarte en un plano sin distorsiones en longitudes, el resultado clave es el famoso Theorema Egregium de Gauss . Básicamente dice que la curvatura gaussiana (como la llamamos ahora) es invariable bajo flexión: se puede calcular únicamente a partir de mediciones de longitud en la superficie. Pero la curvatura gaussiana del plano es cero y la de una esfera distinta de cero (y constante). Como el despliegue que desea no puede cambiar la curvatura, si no se puede hacer.

Answer 3

Puedes pensar en términos de triángulos:

O el ejemplo clásico, Mappa Mundi (Mapa mundial):

Habrá distorsiones:
Indicatriz de Tissot – Wikipedia

Answer 4

Puedes hacer muchas cosas raras a una esfera. Usando el principio de medida infinita, y la paradoja de Banach-Tarsi (paradoja de Banach-Tarski – Wikipedia), puede cortar una esfera y volver a montarla en una esfera de cualquier tamaño, más grande o más pequeño. No puede hacer un número finito de cortes para aplanar una esfera, pero dado un número ilimitado de cortes, claro.

Answer 5

Lo que se quiere decir es que no se puede desplegar sin distorsiones o grietas.