La solución correcta ya se ha proporcionado. Pero, ¿cómo puedes derivar esta solución?
Una manera fácil es como la siguiente. Un poco descuidado, pero fácil de recordar.
Desea resumir la longitud del arco de la función [matemática] f (x) [/ matemática] entre dos valores x, digamos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]. En cada punto tiene una distancia x infinitesimal [matemática] dx [/ matemática] y una distancia y infinitesimal correspondiente [matemática] dy [/ matemática]. Resumiendo todas las longitudes de hipotenusa de estos triángulos rectángulos a través del teorema de Pitágoras, se obtiene la longitud total del arco.
Escrito como una integral, esto sería
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[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b \ sqrt {(dx) ^ 2 + (dy) ^ 2} [/ matemáticas]
Como la integral es sintácticamente incorrecta, simplemente factoriza [math] dx [/ math] desde la raíz cuadrada y observa qué sucede:
[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b dx \ sqrt {1+ \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2} = [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ b \ sqrt {1+ \ left (f ^ \ prime (x) \ right) ^ 2} \, dx [/ math]
Voila, esta es la solución.