¿Cómo se encuentra la integral para una base de un sólido con radio 2 y las secciones transversales son triángulos equiláteros perpendiculares al diámetro fijo?

Answer 1

No estoy seguro si entiendo esto correctamente.

Supongo que este es un cono con radio 2, donde la altura es tal que las secciones transversales son triángulos equiláteros (con bordes de tamaño [matemática] 2r = 4 [/ matemática]).

Vamos a obtener la altura [matemáticas] h [/ matemáticas]:

[matemáticas] 4 ^ 2 = h ^ 2 + 2 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff h = \ sqrt {12} = 2 \ sqrt 3 [/ matemáticas]

Entonces tenemos un cono con radio 2 y altura [matemática] 2 \ sqrt 3 [/ matemática].

Este es el volumen general de un cono:

[matemáticas] \ displaystyle V = \ frac {1} {3} \ pi r ^ 2 h [/ matemáticas]

Enchufe los valores:

[matemáticas] \ displaystyle V = \ frac {1} {3} \ pi 8 \ sqrt 3 = \ frac {8 \ pi} {\ sqrt 3} [/ matemáticas]

Intentemos obtener el mismo resultado a través de la integración. Este es el volumen general cuando se gira una función [matemática] f [/ matemática] alrededor del eje x:

[matemáticas] \ displaystyle V = \ pi \ int_a ^ bf (x) ^ 2 \, dx [/ matemáticas]

[matemática] f (x) [/ matemática] es el radio en [matemática] x [/ matemática]. El radio del cono crece linealmente de 0 a 2 cuando x crece de 0 a [matemáticas] 2 \ sqrt 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ frac {2x} {2 \ sqrt 3} = \ frac {x} {\ sqrt 3} [/ math]

Enchufe eso:

[matemáticas] \ displaystyle V = \ pi \ int_0 ^ {2 \ sqrt 3} \ frac {x ^ 2} {3} \, dx = [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ pi \ frac {x ^ 3} {9} \ Bigg \ vert_ {0} ^ {2 \ sqrt 3} = \ pi \ frac {8 \ cdot 3 \ sqrt {3}} {9} = \ boxed {\ frac {8 \ pi} {\ sqrt 3}} [/ math]