¿Alguien puede resolver este problema de geometría?

Dibujar :

1. Nombra los puntos como en la captura de pantalla

2. Línea AE, de modo que el ángulo DAE sea de 20 grados

3. Únete a EF

4. Nota: el punto G es la intersección de AB y EF

Solución :

A: en el triángulo ADE

1. El ángulo DEA es 80 grados (180 – Ángulo ADE – Ángulo DAE)

2. Angle ADE y Angle DEA son ambos 80 grados

3. Esto implica que el triángulo ADE es triángulos isósceles

4. Esto implica, AD = AE

B: en el triángulo AEB

5. Ángulo EAB = Ángulo EBA = 40 grados

6. Esto implica que el triángulo AEB es un triángulo isósceles.

7. Esto implica, AE = EB

C: en el triángulo ADF

8. Ángulo ADE = Ángulo AFD = 50 grados

9. Esto implica que el Triángulo ADF es un triángulo isósceles

10. Esto implica, AD = AF

RE:

11. Las ecuaciones A, B y C implican: AD = AF = AE = EB

E: en el triángulo AEF

12. AE = AF (demostrado en el paso 11 anterior)

13. Ángulo EAF = 60 grados (consulte el dibujo)

14. Esto implica que el triángulo AEF ES TRIÁNGULO EQUILATERAL.

15. Esto implica, AE = AF = EF

F:

16. Resumiendo arriba AD = AF = AE = EB = EF

G: cálculo de ángulos

17. Ángulo AEC = 100 (180 – ángulo EAC que es 60 grados – ángulo ACE que es 20 grados)

18. Ángulo BEF = Ángulo AEB – Ángulo AEF = 100 – 60 = 40 grados

19. Ángulo AFE = 60 grados (bcoz triángulo AEF es triángulo equilátero)

20. Ángulo DFE = Ángulo AFE – Ángulo AFD = 60 – 50 = 10 grados

21. Ángulo EGB = 180- ángulo BEG – ángulo GBE = 180-40-40 = 100 grados

22. Ángulo BGF = 180 – Ángulo EGB = 180-100 = 80 grados

23. Ángulo EFB = (180 – Ángulo BEF) / 2 (¿por qué? Bcoz en el paso 16 probamos EB = EF, entonces el triángulo EFB es un triángulo isósceles con Ángulo EFB y Ángulo FBE iguales) = 70 grados

24. Ahora, x = 180 – Angle BGF – Angle GFB (Angle BGF es 80 grados en el paso 22, Angle GFB es igual a Angle EFB que es 70 grados en el paso 23) = 180-80-70 = 30 grados

Esto se llama ángulos adventicios de Langley o problema triangular de 80 ° – 80 ° – 20 °. Encontré la solución de: – El problema del triángulo 80-80-20, Solución # 1.

1. Calcule algunos ángulos conocidos:

  • ACB = 180- (10 + 70) – (60 + 20) = 20 °
  • AEB = 180-60- (50 + 30) = 40 °

2. Dibuje una línea desde el punto E paralela a AB, etiquetando la intersección con AC como un nuevo punto F y concluya:

  • FCE ACB
  • CEF = CBA = 50 + 30 = 80 °
  • FEB = 180-80 = 100 °
  • AEF = 100-40 = 60 °
  • CFE = CAB = 60 + 20 = 80 °
  • EFA = 180-80 = 100 °

3. Dibuje una línea FB que etiquete la intersección con AE como un nuevo punto G y concluya:

  • AFE BEF
  • AFB = BEA = 40 °
  • BFE = AEF = 60 °
  • FGE = 180-60-60 = 60 ° = AGB.
  • ABG = 180-60-60 = 60 °

4. Dibuje una línea DG. Como AD = AB (pata de isósceles) y AG = AB (pata de equilátero), concluya:

  • AD = AG.
  • DAG es isósceles
  • ADG = AGD = (180-20) / 2 = 80 °

5. Dado que DGF = 180-80-60 = 40 °, concluya:

  • FDG (con dos ángulos de 40 °) es isósceles, entonces DF = DG

6. Con EF = EG (tramos equiláteros) y DE = DE (mismo segmento de línea) concluya:

  • DEF DEG por regla de lado a lado
  • DEF = DEG = x
  • FEG = 60 = x + x

Respuesta X = 30 grados.

Fuente: El problema de geometría fácil más difícil del mundo

A primera vista, el problema se reduce a resolver un sistema de 4 ecuaciones lineales en 4 variables:

[matemáticas] a + b = 160 [/ matemáticas]

[matemáticas] b + c = 130 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + a = 140 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + c = 110 [/ matemáticas]

que se puede resolver de varias maneras para obtener la solución (todos los números en grados).

Tenga en cuenta que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​los otros dos ángulos del triángulo interno más a la derecha en la figura anterior y [matemática] c [/ matemática] es el ángulo opuesto a [matemáticas] x [/ matemáticas].

Sin embargo, en una inspección adicional, el sistema anterior resulta ser singular y su inverso no existe. Entonces, lo anterior se puede reducir a tres ecuaciones simultáneas en 4 variables:

[matemáticas] x + a = 140 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + c = 110 [/ matemáticas]

[matemáticas] b – x = 20 [/ matemáticas]

Dado que ninguno de los ángulos es negativo, la solución está limitada, es decir, [matemática] x \ en [0,110] [/ matemática], pero no se puede decir nada más usando solo lo anterior.

Sin embargo, también podemos usar información adicional de los triángulos a través de la regla seno. Denotando por [matemáticas] l [/ matemáticas] el lado desde el ángulo [matemáticas] x [/ matemáticas] hasta el vértice superior izquierdo del triángulo más grande y por [matemáticas] b [/ matemáticas] el borde izquierdo del triángulo más grande, obtenemos:

[matemáticas] \ frac {b} {sin 40} = \ frac {l} {sin 80} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ frac {b} {sin x} = \ frac {l} {sin (c + 50)} [/ matemáticas]

Sustituyendo [matemática] c = 110 – x [/ matemática] (de nuestro sistema simultáneo) en lo anterior y después de algo de álgebra / trigonometría elemental, obtenemos una ecuación clara para [matemática] x [/ matemática]:

[matemáticas] \ frac {sin (20 + x)} {sin x} = \ frac {sin 80} {sin 40} [/ matemáticas]

Esto se puede resolver mediante la fuerza bruta, que implicará la expansión de [math] sin (20 + x) [/ math], reorganizando y tomando el [math] tan ^ {- 1} [/ math] de los términos de RHS . O, mejor aún, podemos escribir lo anterior como:

[matemáticas] 2 sen x \ cdot sin (70 + 30) = sin (70 + x) + sin (x-30) [/ matemáticas]

lo que lleva a la respuesta obvia de [matemáticas] x = 30 [/ matemáticas].

El triángulo 80 ° – 80 ° – 20 ° es un problema clásico. Vea, por ejemplo, el problema del triángulo 80-80-20, la solución n. ° 1 o el problema de geometría fácil más difícil del mundo.

Hay una página de Wikipedia Los ángulos adventicios de Langley que muestra el problema se remonta a 1922. También se ha utilizado un examen de ingreso de Cambridge. Una de las mejores soluciones está en http://www.arbelos.co.uk/Papers/ … esto implica construir un triángulo equilátero.

Para dar una pista sobre una solución. Si construimos un punto X para que tenga un ángulo de 20 ° con BC. Puede notar algunas propiedades especiales con los triángulos BXF y XFD. Una vez que las detecte, se volverá sencillo.

Se han dado varias buenas soluciones. Tomé un enfoque de fuerza bruta, usando las leyes de los senos y de los cosenos.

He asignado un valor de 1 a la longitud de la línea BC.

Use la ley de los senos para calcular la longitud de la línea CD:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 40} {1} = \ dfrac {\ sin 60} {(CD)} [/ matemáticas] y

[matemáticas] CD = 1.35 [/ matemáticas]

Ahora nuevamente use la ley de los senos para calcular la longitud del segmento CE:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 50} {1} = \ dfrac {\ sin 80} {(CE)} [/ matemáticas] y

[matemáticas] CE = 1.29 [/ matemáticas].

Ahora determine la longitud del segmento CG:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 70} {1} = \ dfrac {\ sin 60} {(CG)} [/ matemáticas] y

[matemáticas] CG = 0,92 [/ matemáticas].

Como [matemáticas] CE = CG + GE [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] GE = 1.29 – 0.92 = 0.37 [/ matemáticas]

Usando la ley de cosenos y el hecho de que el ángulo ECD = 30 grados:

[matemáticas] (ED) ^ 2 = (CD) ^ 2 + (CE) ^ 2 – 2 (CD) (CE) (\ cos 30) [/ matemáticas], luego

[matemáticas] (ED) ^ 2 = 0.46 [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] ED = 0,68 [/ matemáticas]

Ahora, recurriendo nuevamente a la ley de los senos y observando ese ángulo EGD = 70 grados:

[matemáticas] \ dfrac {\ sin 70} {(ED)} = \ dfrac {\ sin x} {(EG)} [/ matemáticas], y desde

[matemáticas] \ sen x = 0.5 [/ matemáticas],

[matemáticas] x = 30 [/ matemáticas] grados

Una buena propiedad del polígono regular [math] 18 [/ math] es que cada nodo ve todos los demás nodos separados con [math] 10 ^ {\ circ} [/ math], lo que hace que [math] P_ {18} [/ math] un lienzo de dibujo perfecto para nuestro problema:

Es fácil verificar que tanto [matemática] A [/ matemática] como [matemática] B [/ matemática] se encuentran en una diagonal grande de [matemática] P_ {18} [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] se encuentra exactamente entre estas diagonales.


Ahora comenzando en [math] C [/ math], haga crecer [math] 18 [/ math] -gon ([math] p_ {18} [/ math]) y hágalo tan grande, que toque exactamente estos Dos diagonales. El uso de [math] p_ {18} [/ math] es similar a [math] P_ {18} [/ math], [math] A [/ math] y [math] B [/ math] también deben ser un nodo de [matemáticas] p_ {18} [/ matemáticas].

Entonces nosotros tenemos:

[matemática] AB \ overset {p_ {18} \ text {similar a} P_ {18}} {\ parallel} A’B ‘\ overset {P_ {18} \ text {es regular}} {\ parallel} A’ ‘B’ ‘[/ matemáticas]

Ahora use [math] 10 ^ {\ circ} [/ math] -property de [math] P_ {18} [/ math] para ver que:

[matemáticas] \ ángulo A”B”B = 3 \ veces 10 ^ {\ circ} = 30 ^ {\ circ} [/ matemáticas].

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Si. Con una regla y una brújula solamente, con tres líneas, dos rectas y un círculo a través de la Proposición 32 del Libro 3 de Euclides Elementos:

Explicación:

  • deje que [math] FC [/ math] y [math] BE [/ math] se crucen en [math] D [/ math]
  • construir una perpendicular [matemática] p [/ matemática] a [matemática] FE [/ matemática] a [matemática] E [/ matemática]
  • construya una bisectriz perpendicular [matemática] b [/ matemática] de [matemática] CD [/ matemática] de manera que [matemática] CH = HD [/ matemática] y [matemática] \ ángulo OHD = 90 ^ {\ circ} [/ matemática ]
  • [matemática] p [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] se cruzan en [matemática] O [/ matemática]
  • construya un círculo [matemática] \ sigma [/ matemática] con el centro en [matemática] O [/ matemática] y el radio [matemática] OE = OC = OD [/ matemática]
  • por B3P32 el ángulo [matemática] \ chi = \ angle FED = \ angle ECD = 30 ^ {\ circ} [/ math]

Fin de la prueba ya que se da que [matemática] \ angle ECD = 30 ^ {\ circ} [/ math].

4 incógnitas de la siguiente manera
X, el principal desconocido
Y, el tercer ángulo en el triángulo con X y el ángulo de 70 grados
A, el ángulo desconocido a la derecha de X
B, el ángulo desconocido a la derecha de Y y formando un triángulo con A y el ángulo de 20 grados

4 ecuaciones de la siguiente manera
X + Y + 70 = 180
Y + B + 50 = 180
X + A + 40 = 180
A + B + 20 = 180

Resolver las 4 ecuaciones da (puede usar muchos métodos diferentes; usé una matriz)
A = 80
B = 80
X = 60
Y = 50

Aquí hay una solución geométrica usando
Teorema del ángulo central – Referencia abierta matemática

Construir circunferencia circunscrita en el triángulo ABD, centrada en ‘O’ (Cómo construir circuncentro de un triángulo con brújula y regla o regla)

Por construcción, el circuncentro ‘O’ estará en la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados.
El diámetro CE es la bisectriz perpendicular en el lado BD.
CE divide a BD en F.

Por lo tanto,
∠CFB = 90
∠BCE = 90−40
= 50

CD del segmento:
Ángulo realizado por arco CD en el centro
∠COD = 2 ∗ ∠DBC
= 2 ∗ 40 = 80

Segmento BE:
Ángulo hecho por el arco BE en el centro
∠BOE = 2 ∗ ∠BCE
= 2 ∗ 50 = 100

Segmento AB:
Ángulo hecho por el arco AB en el centro
∠AOB = 2 ∗ ∠ADB
= 2 ∗ 70 = 140

Segmento BC:
Ángulo hecho por el arco BC en el centro
∠BOC = 180 − ∠BOE
= 180−100 = 80

Segmento AD:
Ángulo hecho por el arco AD en el centro
∠AOD = 360− (140 + 80 + 80)
= 360−300 = 60

Por lo tanto,
∠x = 1/2 ∗ 60 = 30

Hay formas más fáciles de resolver este problema, pero una de las formas más difíciles es usar la ley de los senos:

Obtengo B = 1.28557522.

Ahora haz lo mismo para C:
[matemáticas] \ frac {C} {sin (50)} = \ frac {B} {sin (60)} [/ matemáticas]

Luego haz lo mismo para D:
[matemáticas] \ frac {C} {sin (50)} = \ frac {D} {sin (20)} [/ matemáticas]

Una vez que haces todo este trabajo, obtienes D = 0.50771330
(si hice todos mis cálculos correctamente).

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es resolver una relación más difícil:

[matemáticas] \ frac {D} {sin (x)} = \ frac {A} {sin (110-x)} [/ matemáticas]

[matemática] \ frac {0.50771330} {sin (x)} = \ frac {1.00000000} {sin (110-x)} [/ matemática]

Voy a dejarte terminar desde aquí.

Pero si observa otras respuestas, encontrará formas mucho más fáciles (y mucho más interesantes) de resolver este problema.

Este es un problema llamado ángulos adventicios de Langley.

Presh Talwalkar hizo un video en su canal llamado Mind Your Decisions y dijo que x era 30 grados. Aquí está el video.

Este problema se conoce como el problema de los ángulos adventicios de Langley. Puede ver un problema similar con la solución aquí @Langley Problema. 20 ° Triángulo isósceles Ángulos adventicios. Geometría. Gaceta Matemática Reino Unido

La trigonometría daría una solución.

Caiga una perpendicular desde el ángulo de 20 grados. Use tan 10 grados para calcular la relación de los lados de los isósceles a la base (lado opp. 20 grados).

El ángulo de 80 grados (se muestra como 60 y 20) es la cabeza de un triángulo isósceles. Reste la base del lado (20,50,20).

Deje caer una perpendicular desde un punto de 50 grados en el costado (20,50,20). Esto creará 2 triángulos de ángulo recto.

Usa los lados calculados arriba para encontrar las longitudes de los triángulos de ángulo recto. Use una función de trigonometría inversa para calcular sus ángulos.

Usa los ángulos encontrados y el hecho de que una recta es 180 grados para encontrar x.

Lo que hice fue;

Está claro que hay un triángulo más grande con triángulos más pequeños en el interior, por lo que debemos usar esto para nuestra ventaja.

Etapa 1: IDENTIFICAR,

Ese gran triángulo es un triángulo isósceles, lo sabemos porque los ángulos superiores e inferiores izquierdos suman ambos a 80 °. Como resultado de esto, es seguro asumir que el pequeño triángulo en el que solo sabemos 20 ° (a la derecha) también tiene ángulos superiores de 80 ° y inferiores de 80 °.

Sepa que hemos colocado en 80 ° en ambos lados: todo se convierte en un reloj.

Etapa 2: LAS MATEMÁTICAS,

La línea inferior del triángulo grande quisiera tal;

30 °, 40 °, x °, 80 ° y 20 ° respectivamente.

Pero todo lo que necesitamos es 40 ° x ° y 80 °, ya que suman 180 (la línea recta debe ser igual a 180 °)

180 = 120 + x

x = 60 °

Puede confirmar esta respuesta repitiendo la etapa 2, pero esta vez con la línea superior para calcular el ángulo entre 50 ° y 80 °. 70 + 60 + (ángulo entre 50 y 80) = 180. Por lo tanto, x = 60 °

Parece que hay varias copias de esta pregunta en Quora en este momento. Solo responderé a esta.

La mayoría de las respuestas dadas hasta ahora parecen ser demasiado largas para poder seguirlas fácilmente, así que intentaré resolver el problema marcando principalmente el diagrama (haga clic en la imagen para obtener una vista más clara).

Construya los segmentos de línea roja como se muestra en el diagrama. Con un poco de estudio, debería poder deducir que todos los segmentos de línea marcados tienen la misma longitud y calcular los valores de los ángulos marcados en verde. (Sugerencia: piense en isósceles y triángulos equiláteros).

A partir de ahí, es una simple cuestión de resolver [matemáticas] x + 40 = 70 [/ matemáticas] deducir que [matemáticas] x = 30 ^ o [/ matemáticas]

Mira el triángulo superior con dos ángulos 20 y 20 n tercer ángulo es x más algo
Ahora, como ambos ángulos son 20 y el ángulo de bisección en xy otra parte debe ser igual

Para que la ecuación se pueda escribir como 20 + 20 + x + x = 180
Como la suma del ángulo del triángulo es 180

Después de resolverlo obtenemos x = 70

Espero que ayude. Por favor sugiera corrección si alguna

Sin palabras

Entonces un triángulo tiene 180 grados. Todos los valores numéricos están en grados.
Entonces tenemos 180-70 para tener el valor de ambos ángulos faltantes (es igual a 110).
Tenemos 180 grados en línea recta. (o cero pero mantengámoslo en 180)
Entonces 180 – 50 – y = 0 en la parte superior y 180 – 40 – z = 0 en la parte inferior (parte del diseño).
Entonces y = 130 y z = 140.
Tenemos el triángulo que comienza con 20 grados (la mayoría a la derecha) – 180 = 160 para el resto de los ángulos.
El segundo triángulo, el definido por 70 yx, también tiene 180 grados. Eso sería 180 – 70 = 110 para los ángulos restantes.
x = 140 (la z) – 110 = 30, entonces el ángulo restante sería 80
yx = 30.

Estudiante de secundaria aquí y la respuesta es x = 60 grados. Los otros respondedores deben explicar cómo x = 30 grados y lo agrega con el ángulo directamente al lado y obtiene “70 grados” para un ángulo obtuso.

comience por establecer la longitud de la base en 1 y use la ley del coseno para determinar la longitud de uno de los otros lados del triángulo isósceles grande y luego las aplicaciones repetidas de la ley del seno finalmente le darán el ángulo que busca.