¿Es dx una longitud / distancia real?

Answer 1

Algún contexto podría ayudarte a entender. Asumiré que te refieres al cálculo integral .

La forma de integral más fácil de entender es la integral de Riemman, cuya interpretación es el área bajo la curva representativa de una función en un dominio dado .

Aquí, el dominio es el segmento [matemáticas] [a, b] [/ matemáticas] y la función [matemáticas] f: x \ mapsto f (x) [/ matemáticas]

La primera pregunta es ¿cómo calculamos tradicionalmente las áreas ? La definición más simple es para un rectángulo de lados [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], cuya área es entonces el producto [matemática] a * b [/ matemática].

¡Así que intentemos forzar rectángulos aquí! Cortaremos [matemática] [a, b] [/ matemática] en segmentos más pequeños y levantaremos rectángulos desde el eje [matemática] x [/ matemática] hasta que alcancen la curva.

Tomemos un rectángulo de este tipo: su ancho [matemática] \ Delta x [/ matemática] (la letra [matemática] \ Delta [/ matemática] se usa al referirse a las diferencias, aquí en la [matemática] x [/ matemática] – eje) tiene un valor fijo *, digamos que cortamos [matemática] [a, b] [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática] piezas, entonces [matemática] \ Delta x = \ frac {ba} {n} [/matemáticas]

Ahora, su altura es interesante: por definición, es el valor de [math] f (x_i) [/ math] donde [math] x_i [/ ​​math] es la [math] x [/ math] -coordinate del fondo- esquina izquierda del rectángulo.

Si queremos escribir esto de una manera más formal, digamos que tenemos

[matemáticas] a = x_ {0} \ leq x_ {1} \ leq x_ {2} \ leq \ cdots \ leq x_ {n-1} \ leq x_ {n} = b [/ matemáticas]

Luego podemos calcular el área coloreada como una expresión que depende del número de rectángulos [matemática] n [/ matemática]:

[matemáticas] A (n) = \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} f (x_ {i}) \ Delta x [/ matemáticas]

Definición : La integral de Riemann de [matemática] f [/ matemática] sobre [matemática] [a, b] [/ matemática] es el valor de [matemática] A (n) [/ matemática] cuando [matemática] n [/ matemática ] tiende al infinito [por supuesto, normalmente necesitamos probar la convergencia antes de afirmar que existe, pero está más allá del alcance de mi explicación]

Puedes imaginar fácilmente que cuando [math] n [/ math] crecen, los rectángulos se vuelven más y más delgados y cubren cada vez con mayor precisión el área en la que estábamos originalmente interesados. La forma formal de escribir esto es decir que [math] ] \ Delta x [/ math] se convierte en una distancia infinitesimal que escribiremos [math] dx [/ math], y el signo de suma será un S curvado:

[matemáticas] \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx [/ matemáticas]

Entonces, con todo este contexto, espero que comprenda mejor la notación [math] dx [/ math] que realmente significa: una distancia en el eje x que es más pequeña que cualquier número dado que podamos imaginar. Esto, por ejemplo, también es válido para la notación derivada [math] \ frac {df} {dx}. [/ Math]

* Esto no es obligatorio, pero restringiré este caso por razones de simplicidad.

Answer 2

No, no representa una distancia real, en el sentido de que [math] dx = 0.000001 [/ math] o algo así. En la práctica, el símbolo [math] dx [/ math] en [math] \ int f (x) dx [/ math] o en integrales iteradas como [math] \ int \ int f (x, y) dxdy [/ math ] no sirve más que indicar la variable sobre la que está integrando, y a menudo puede omitirse por completo si sabe que está integrando una función con respecto a x. Las fórmulas como [math] df = \ dfrac {df} {dx} dx + \ dfrac {df} {dy} {dy} [/ math] tienen sentido solo después de definir rigurosamente todos estos símbolos, que es un avanzado (y no del todo satisfactorio en mi opinión).

Sin embargo, a menudo ve integrales escritas como [math] \ int f (x) d \ mu (x) [/ math] en las que [math] \ mu [/ math] es la medida sobre la que se está integrando (una medida es una función que asigna ‘distancia’ o ‘volumen’ a ciertos conjuntos). Aquí la medida sobre la que se está integrando es importante y, a menos que sepa cuál está utilizando, debe escribirla en la integral. De hecho, cuando escribe [math] \ int f (x) dx [/ math] casi siempre quiere decir [math] \ int f (x) d \ lambda (x) [/ math] donde [math] \ lambda [ / math] es la medida única que (entre otras cosas) define la medida de un intervalo como su longitud.

Answer 3

En alguna circunstancia, lo es. Cuando hablamos de dx, nos referimos a una distancia extremadamente pequeña que es despreciable. Sin embargo, cuando un número infinito de este tipo de pequeñas distancias se unen, las cosas se vuelven diferentes. Cuando un número infinito de dx se unen, en realidad podemos hacer una longitud / distancia real.

Answer 4

Puede ser, y este es un concepto muy importante para comprender. Cuando diferencia o integra una cantidad física, no solo realiza un cálculo matemático arcano. Estás trabajando con dimensiones reales. Entonces dx / dt no es solo la derivada de x con respecto a t, es la distancia en el tiempo o la velocidad . Esta derivada es una velocidad. A medida que avanza en temas más avanzados en física, es muy útil tener en cuenta las cantidades físicas que están representadas por una derivada, no solo las reglas matemáticas que debe seguir.

Answer 5

dado que dx es una parte muy pequeña de la longitud total x Entonces depende de la longitud completa x donde x es real o imaginaria.

Si x es la longitud real en la pregunta dada, entonces dx también lo será.

Si x es la longitud imaginaria en cuestión, entonces obviamente dx será imaginaria.

🙂

Answer 6

dx no es un número real. Podría ser útil considerarlo como un número hiperreal

Puse los hiperreales allí arriba con pan rebanado.

Answer 7

dx es un término ambiguo, en el sentido de que puede significar cosas diferentes en diferentes contextos (no en un sentido contradictorio … sino diferente)

Por ejemplo, puede anunciar el nombre de la variable utilizada … dx es sobre x, mientras que dp es sobre p, y así sucesivamente

Puede referirse a una línea infinitesimal de x alrededor de un valor particular x_ {0} (una línea de longitud infinitesimal) … como en

dx ”=” x-x_ {0} … pero en la notación no se especifica ningún valor particular … por lo que debe pensarlo en algún lugar en el fondo …