¿Qué es [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ ln {\ sqrt x}} {\ sqrt x} \, dx [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] \ int \ frac {\ ln \ sqrt x} {\ sqrt x} \; dx [/ matemáticas]

Sustituir:

[matemáticas] x = t ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = 2t \; dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {\ ln t} {t} 2t \; dt [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ int \ ln t \; dt [/ matemáticas]

Ahora integración por partes con

[matemáticas] u = \ ln t [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] du = \ frac {dt} {t} [/ matemáticas]

[matemáticas] v = t [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ int \ ln t \; dt = 2 t \ ln t – 2 \ int \ frac {t \; dt} {t} [/ math]

[matemáticas] = 2 t \ ln t – 2 \ int dt [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 t \ ln t – 2t + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ sqrt x \ ln (\ sqrt x) – 2 \ sqrt x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ sqrt x (\ ln (\ sqrt x) – 1) + C [/ matemáticas]

Answer 2

Utilizar

[matemáticas] \ displaystyle \ int u ^ \ prime (x) (f \ circ u) (x) \ mathrm dx = \ displaystyle \ int f (u) \ mathrm du [/ math]

Con [math] u (x) = \ sqrt {x}, u ^ \ prime (x) = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ math]

usted obtiene

[matemáticas] 2 \ displaystyle \ int \ dfrac {\ ln (\ sqrt {x})} {2 \ sqrt {x}} \ mathrm dx = 2 \ displaystyle \ int \ ln (u) \ mathrm du [/ math]

Answer 3

[matemáticas] \ int \ frac {\ ln \ sqrt {x}} {\ sqrt {x}} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = \ ln (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] g (x) = \ sqrt {x} \, g ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ int \ ln (u) \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (u (\ ln (u) -1)) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 (\ sqrt {x} (\ ln \ sqrt {x} -1)) + C [/ matemáticas]

Answer 4

Sea u = sqrt (x) entonces du = (1/2) dx / sqrt ((x) y la integral se convierte en int (2 ln (u) du), que es “fácil”.

Answer 5

Let√x = y →font> dy / dx = 1 / (2√x) →font> dx = 2√xdy

INTGERAL = 2∫㏑ydy

= 2 (y㏑y —∫y / ydy)

= 2y㏑y — 2y + c

= 2y {(㏑y) —1)} + c