Aquí hay muchas fórmulas explícitas para [math] S (n, 2) [/ math].
Por simplicidad, denotemos [matemáticas] a_n = S (n, 2) [/ matemáticas]. Este es el número de permutaciones de objetos [matemáticos] n [/ matemáticos] que tienen exactamente [matemáticos] 2 [/ matemáticos] ciclos. Por ejemplo, los objetos [matemática] 3 [/ matemática] se pueden permutar de manera [matemática] 3 [/ matemática] con ciclos [matemáticos] 2 [/ matemáticos]: mantenga un objeto en su lugar y voltee los otros dos. Eso significa que [matemáticas] S (3,2) = a_3 = 3 [/ matemáticas]. Con los objetos [math] 4 [/ math] tienes dos tipos de permutaciones: arregla un objeto y alterna los otros tres ([math] 8 [/ math] permutations) o combínalos y voltea los pares ([math] 3 [/ math] permutaciones), para un total de [math] 11 [/ math]. Entonces [matemáticas] S (4,2) = a_4 = 11 [/ matemáticas].
Veremos muchas fórmulas para [math] a_ {n + 1} [/ math] en lugar de [math] a_n [/ math]. Esto es solo porque la indexación funciona un poco mejor con este cambio. No conozco un nombre estándar para [math] a_ {n + 1} [/ math], así que mantuve la indexación ya que los números de Stirling generalmente se indexan, pero está bastante claro que la indexación más “natural” se cambia por uno .
Primero, una relación de recurrencia simple. Sé que muchas personas no piensan en una relación de recurrencia como “una fórmula explícita”, pero realmente lo es. Proporciona un algoritmo finito para calcular cualquier valor de [math] a_n [/ math], al igual que las fórmulas que involucran [math] \ Sigma [/ math] y [math] \ Pi [/ math] y registros y funciones de piso y otras cosas.
- ¿Cómo podemos resolver [matemáticas] x ^ 2 + \ frac {3} {x} + 1 = x + \ frac {1} {3} + \ frac {4} {x} +1 [/ matemáticas]?
- ¿Qué es [math] \ int {\ left (\ dfrac {\ sin {x}} {x} \ right) ^ 2 \ cdot dx} [/ math]?
- ¿Puede un álgebra tener continuamente muchas raíces cuadradas de la unidad? ¿Cuáles son las consecuencias?
- Si la expresión ax ^ 2 + bx + C = 4 cuando x = 0, deja un resto 4 cuando se divide por x + 1 y un resto 6 cuando se divide por x + 2, ¿entonces el valor de a, banda C?
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[matemáticas] a_1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] a_ {n + 1} = n a_n + (n-1)! [/ matemáticas]
Para probar esto, observe que cada permutación legal de [math] \ {1, \ ldots, n + 1 \} [/ math] deja el elemento [math] n + 1 [/ math] fijo y cicla el resto (hay son [matemática] (n-1)! [/ matemática] ciclos de [matemática] 1, \ ldots, n [/ matemática]) o no, en cuyo caso puede construir la permutación insertando [matemática] n +1 [/ math] en uno de [math] n [/ math] se ubica en una de las permutaciones contadas por [math] a_n [/ math].
Aquí hay otra fórmula que parece más “explícita” pero en realidad es tan complicada como la relación de recurrencia. El operador [math] \ sum [/ math] es, algorítmicamente, un bucle, al igual que el bucle implícito en la relación de recurrencia.
[matemáticas] \ displaystyle a_ {n + 1} = n! \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k} [/ matemáticas]
Una manera divertida de ver esta fórmula es considerar el número armónico [matemático] n [/ matemático]
[matemáticas] H_n = 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {1} {n} [/ matemáticas]
y descifrar su numerador sin reducirlo. Por ejemplo,
[matemáticas] H_4 = 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {50} {24} [/ matemáticas]
y [math] 50 [/ math] es de hecho [math] a_5 [/ math].
Es en la naturaleza de tales funciones combinatorias naturales que tienen muchas representaciones. Aqui hay otro más.
[matemáticas] \ displaystyle a_ {n + 1} = \ frac {d} {dx} \ left ((x + 1) (x + 2) \ cdots (x + n) \ right) | _ {x = 0} [/matemáticas]
Esto simplemente dice, sucintamente, “tome el polinomio [matemáticas] (x + 1) (x + 2) \ ldots (x + n) [/ matemáticas], encuentre su derivada y mire el término constante (o evalúe en [ matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]) “.
¿Más? aquí:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ log (1-x)} {x-1} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_ {n + 1} \ frac {x ^ n} {n!} [ /matemáticas]
Esto puede parecer aterrador, pero es una forma muy útil y muy común de representar secuencias. Esta es la función de generación exponencial de la secuencia [matemáticas] a_ {n + 1} [/ matemáticas]. En realidad, hay una similar para la secuencia no desplazada [math] a_n [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2} (\ log (1-x)) ^ 2 = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n \ frac {x ^ n} {n!} [/ math ]
La entrada OEIS para esta secuencia contiene muchas otras fórmulas. Por ejemplo:
[matemáticas] \ displaystyle a_ {n + 1} = (2n-1) a_n- (n-1) ^ 2a_ {n-1} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle a_ {n + 1} = n! \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} {k} \ binom {n} {k} [/ matemáticas].
¡Espero que uno de estos se ajuste a tus necesidades!