¿Cómo podemos resolver [matemáticas] x ^ 2 + \ frac {3} {x} + 1 = x + \ frac {1} {3} + \ frac {4} {x} +1 [/ matemáticas]?

Lo primero que debe hacer es simplificar el problema tanto como sea posible. Elimina los dos 1s combina poderes comunes de x y multiplícalos por 3x para eliminar fracciones Usted obtiene

3x ^ 3 – 3x ^ 2 – x – 3 = 0.

Tenga en cuenta que si x es un número entero, debe ser un múltiplo de 3, pero x = 3 no funciona y el primer término crece más rápido que los demás, por lo que los múltiplos más altos de 3 tampoco funcionarán. Tampoco los múltiplos negativos.

Parece que podría necesitar usar métodos numéricos (hay una fórmula para los cúbicos pero no vale la pena).

Prueba el método de Newton-Raphson. Desea un cero de la función diferenciable g (x). Si x es una suposición, entonces x * = x – g (x) / g ‘(x) suele ser una mejor suposición. En su caso, g (x) 0 si x = 2, entonces debe haber una solución entre 1 y 2. También g ‘(x) = 9x ^ 2 – 6x -1. Pruebe una suposición inicial de x = 1. Entonces x * = 1 – (-4) / (9 – 6 – 1) = 3. Esto no es un comienzo prometedor porque esperamos una solución entre 1 y 2, pero esto sucede a menudo en el primer paso Podría intentar x = 3 a continuación, pero ¿por qué no probar x = 2? Esto da x * = 2-7 ​​/ (36-12-2) = 1.7 aproximadamente. Ahora continúe con x = 1.7 y así sucesivamente hasta que la respuesta sea tan precisa como lo requiera.

Una vez que tenga una solución, suponga que es 1.57, por ejemplo, puede sacar un factor de (x-1.57) del cúbico. Esto da un resultado cuadrático que puedes resolver con la fórmula.

[matemáticas] \ displaystyle \ large x ^ 2 + \ frac {3} {x} + 1 = x + \ frac {1} {3} + \ frac {4} {x} + 1 \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ large 3x ^ 3 – 3x ^ 2 – x -3 = 0 \ tag {2} \\ [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 3x ^ 3 – 3x ^ 2 – x -3, \ quad \ frac {df (x)} {dx} = 9x ^ 2 – 6x – 1, \ quad \ frac {d ^ 2f (x)} {dx ^ 2} = 18x – 6 = 6 (3x – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {df (x_ {c})} {dx} = 9x_ {c} ^ 2 – 6x_ {c} – 1 = 0, \ quad x_ {c} = \ frac {3 \ pm \ sqrt {3 ^ 2 – (9) (- 1)}} {9} = \ frac {3 \ pm \ sqrt {18}} {9} = \ frac {1 \ pm \ sqrt {2}} {3} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle x_ {c_ {1}} = \ frac {1 – \ sqrt {2}} {3}, \ qquad \ x_ {c_ {2}} = \ frac {1 + \ sqrt {2}} {3}, \ qquad \ frac {df (x_ {c_ {1}})} {dx} = \ frac {df (x_ {c_ {2}})} {dx} = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (x_ {c_ {1}}) = f (\ frac {1 – \ sqrt {2}} {3}) = \ frac {4 (\ sqrt {2} – 8)} {9 } \ lt 0 \ quad \ frac {d ^ 2f (x_ {c_ {1}})} {dx ^ 2} = 6 (3 (\ frac {1 – \ sqrt {2}} {3}) – 1) = -6 \ sqrt {2} \ lt 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle f (x_ {c_ {2}}) = f (\ frac {1 + \ sqrt {2}} {3}) = – \ frac {4 (\ sqrt {2} + 8)} { 9} \ lt 0 \ quad \ frac {d ^ 2f (x_ {c_ {2}})} {dx ^ 2} = 6 (3 (\ frac {1 + \ sqrt {2}} {3}) – 1 ) = 6 \ sqrt {2} \ gt 0 [/ math]

CONTINUARÁ…

Solo hay 1 raíz real en aproximadamente x = 1.599