¿Puede un álgebra tener continuamente muchas raíces cuadradas de la unidad? ¿Cuáles son las consecuencias?

Answer 1

“Continuamente muchos” no es realmente algo que estoy seguro de cómo entender. Se me ocurren al menos dos interpretaciones:

1. La cardinalidad de las raíces cuadradas de la unidad es la cardinalidad del continuo.
2. El álgebra en cuestión es un anillo topológico, y el subconjunto de raíces cuadradas de la unidad es una variedad de dimensiones al menos 1.

Ciertamente puedo cumplir el primer requisito. Considere el álgebra que consiste en matrices infinitas (con una entrada para cada par de números reales) con la propiedad de que casi todas las entradas fuera de la diagonal son cero y casi todas las entradas diagonales son una (“casi todas” significa “casi todas”) este contexto). Entonces está claro que cualquier matriz con una combinación de 1s y -1s en las diagonales se ajustará a la factura. Hay innumerables matrices de este tipo, y así hemos terminado.

Si topologiza este álgebra de la manera correcta, creo que también puede cumplir el segundo requisito. Sin embargo, dejaré esto como un ejercicio para el lector interesado.

Answer 2

Elija cualquier grupo [matemática] G [/ matemática] y cualquier campo [matemática] k [/ matemática]. Puede formar el anillo de grupo [math] kG [/ math] para que sea el espacio vectorial sobre [math] k [/ math] generado por los elementos de [math] G [/ math] como base, con la multiplicación definida en base vectores como en [math] G [/ math] y luego se extendieron linealmente. Esto es en realidad un álgebra [matemática] k [/ matemática].

Si [math] G [/ math] tiene infinitos o innumerables elementos cuyo cuadrado es [math] 1 [/ math], también lo tendrá el álgebra [math] kG [/ math]. Puede construir fácilmente cualquier número de tales grupos, por ejemplo, como [matemática] (C_2) ^ X [/ matemática] donde [matemática] C_2 [/ matemática] es el grupo cíclico de elementos [matemática] 2 [/ matemática] y [ math] X [/ math] es cualquier conjunto. Si [math] X [/ math] es infinito, este grupo es incontable y cada elemento se cuadra con [math] 1 [/ math].

No veo cómo determinar “cuáles son las consecuencias” en tal generalidad. Esas son solo álgebras con muchos elementos cuyo cuadrado es [math] 1 [/ math].

(Para los grupos, es un ejercicio divertido mostrar que si todos los cuadrados son [matemática] 1 [/ matemática] entonces el grupo debe ser abeliano. Pero si todo lo que sabes es que muchos cuadrados son [matemática] 1 [/ matemática] entonces No creo que puedas decir mucho).

Answer 3

Supongo que te refieres a un álgebra con un conjunto continuamente parametrizado de raíces cuadradas de la unidad. Sí, por ejemplo, 2 por 2 matrices reales. Entonces cualquier matriz de la forma

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x & y \\ z & -x \ end {pmatrix} [/ math]

donde [math] x ^ 2 + yz = 1 [/ math] se cuadrará con una matriz unitaria. Si piensa en estos como operadores en un plano, las reflexiones sobre cualquier línea (a través del origen) cuadrarán con la identidad, pero hay otros ejemplos.

Las consecuencias dependerán de lo que quiere decir con “álgebra”. ¿Se refiere a cualquier estructura algebraica genérica con multiplicación y una unidad o se refiere al caso más específico de un “álgebra sobre un campo” como se define en Wikipedia: Álgebra sobre un campo – Wikipedia? O algo en el medio?

Si te refieres a cualquier álgebra genérica con solo nultiplicación (por ejemplo, un bucle o semigrupo), entonces habría muchos ejemplos con o sin comunicación, asociatividad, etc.

Sospecho que puede estar pensando en algo más como el límite infinito de la secuencia de álgebras que comienza real, complejo, cuaternión, octonión, sedenión, etc., utilizando la construcción de Cayley-Dickson un número infinito de veces, o tal vez solo está pensando o un álgebra de Clifford de dimensiones infinitas. Hay muchas formas posibles de verlo y las “consecuencias” son diferentes para cada uno.

Quizás valga la pena agregar que el álgebra de la creación fermiónica y los operadores de aniquilación en una teoría de campo cuántico es un ejemplo de la física.

[matemáticas] (a (x) + a ^ * (x)) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]