¿Qué es [math] \ int {\ left (\ dfrac {\ sin {x}} {x} \ right) ^ 2 \ cdot dx} [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] I = \ int \ frac {(sin ^ 2 (x))} {(x ^ 2)}. dx [/ matemáticas]

Atacaría esto escribiendo primero [math] sin ^ 2 (x) = \ frac {1-cos (2x)} {2} [/ math], por lo tanto [math] I = \ frac {1} {2} \ int \ frac {1-cos (2x)} {x ^ 2} .dx = \ frac {1} {2} [\ int \ frac {1} {x ^ 2} .dx – \ int \ frac {cos ( 2x)} {x ^ 2} .dx] = – \ frac {1} {2} [\ frac {1} {x} + J] [/ math].

Acerquémonos a [math] J = \ int \ frac {cos (2x)} {x ^ 2} .dx [/ math].

La integración por partes sería mi primer puerto de escala, [matemáticas] u = cos (2x), u ‘= – 2sin (2x), v’ = \ frac {1} {x ^ 2}, v = – \ frac { 1} {x} [/ matemáticas].

[matemáticas] J = – \ frac {cos (2x)} {x} – 4 \ int \ frac {sin (2x)} {2x} = – \ frac {cos (2x)} {x} – 2Si (2x) [/matemáticas].

Creo que la respuesta por lo tanto es:

[matemáticas] I = – \ frac {1} {2} [\ frac {1} {x} – \ frac {cos (2x)} {x} – 2Si (2x)] + C = – \ frac {1} {2} [\ frac {1-cos (2x) – 2xSi (2x)} {x}] + C = \ frac {2xSi (2x) + cos (2x) – 1} {2x} + C [/ matemáticas]

Aunque lo he hecho bastante rápido, la posibilidad de error es bastante alta.

Editar: coeficiente corregido de la integral seno.