Cómo saber si la secuencia [matemática] \ frac {100n + 5n ^ 3} {(15 + n ^ {10} + n ^ {15}) ^ \ frac {1} {4}} [/ matemática] converge

Answer 1

Bien, consideremos:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (100n + 5n ^ 3) / ((15 + n ^ {10} + n ^ {15})) ^ {1/4} [/ matemáticas]

Siempre que esté tomando el límite infinito de una secuencia o función racional, como la anterior, es una buena idea ver si el denominador o numerador se acerca al infinito más rápido.

Aquí hay dos propiedades generales del límite infinito de una secuencia o función racional:

1.) Si el denominador y el numerador se aproximan al infinito, al infinito negativo o al cero, llamado forma indeterminada, entonces usas L’Hôpital’s.

2.) Si el denominador se acerca al infinito y el numerador se acerca a un número racional o irracional, entonces el límite es igual a cero.

¡Veamos nuestro límite ahora!

Denote [matemáticas] f (n) = 100n + 5n ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] g (n) = (15 + n ^ {10} + n ^ {15}) ^ {1/4} [/ matemáticas]

Ahora mirando tanto f (n) como g (n) podemos ver que a medida que n se acerca al infinito, ambos se acercan también al infinito. Por lo tanto, podemos usar L’Hôpital’s.

[matemáticas] f ‘(n) = 100 + 15n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] g ‘(n) = 20n ^ 9 (3n ^ 5 + 2) (n ^ {15} + n ^ {10} +15) ^ 3 [/ matemáticas]

Ahora bien, estos dos apporach infinito cuando n se acerca al infinito, entonces L’Hôpital está de nuevo …

Pero voy a contarle algo que ayudará a que este proceso sea más rápido, de hecho, podríamos haber visto esos dos primeros derivados y tendríamos nuestra respuesta:

Si el denominador se acerca al infinito más rápido que el numerador, ¡entonces el límite es cero!

Ahora eso es ahora L’Hopital funciona! Compara las dos derivadas o velocidades de funciones.

Claro cuando n se acerca al infinito [matemática] g ‘(n) >> f’ (n) [/ matemática], y esto implica que el límite es cero ya que [matemática] g ‘(n) [/ matemática] está en el denominador y [matemáticas] g ‘(n) >> f’ (n) [/ matemáticas].

Como el límite es un número real, la secuencia converge.

Answer 2

En el numerador, [matemática] 100n + 5n ^ 3

En el denominador, [matemáticas] 15 + n ^ {10} + n ^ {15}> n ^ {15} [/ matemáticas] entonces [matemáticas] (15 + n ^ {10} + n ^ {15}) ^ \ frac14> n ^ {3.75} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ displaystyle \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ frac {100n + 5n ^ 3} {(15 + n ^ {10} + n ^ {15}) ^ {\ frac14}} [ /matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ le \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ frac {Kn ^ 3} {n ^ {3.75}} [/ math]

[math] = \ lim \ limits_ {n \ to + \ infty} \ frac {K} {n ^ {0.75}} = 0 [/ math].

Answer 3

La naturaleza de esta serie es la misma que la serie.

[matemáticas]\;\; 5 \ sum \ frac {n ^ {3}} {n ^ {\ frac {15} {4}}} \; [/ math] [math] = \; 5 \ sum \ frac {1} {n ^ { \ frac {3} {4}}} \; \; [/ math] que diverge al infinito.

Por lo tanto, la serie dada diverge hasta el infinito.

Tenga en cuenta que [matemáticas] \; \; \ sum \ frac {1} {n ^ {k}} \; \; [/ math] es convergente si [math] \; \; k> 1 \; \; [/ math] y diverge al infinito si [math ] \; \; k \ le 1 \ ;. \;[/matemáticas]

Answer 4

Siempre que tenga una fracción de la función polinómica y las variables lleguen al infinito, tome los términos con el mayor grado del numerador y el denominador ya que todos los demás términos serán insignificantes.

En este caso, el término con el grado más alto en numerador es [matemática] 5n ^ 3 [/ matemática]. El término con el grado más alto en el denominador es ([matemáticas] n ^ {15}) ^ {\ frac {1} {4}} [/ matemáticas]

Entonces, el límite a medida que n va al infinito es [matemáticas] \ frac {5n ^ 3} {n ^ {\ frac {15} {4}}} = \ frac {5} {n ^ {\ frac {3} {4 }}} = 0 [/ matemáticas]

Answer 5