Root-mean-square se usa en muchos contextos diferentes. Aquí hay una idea de la electrónica:
Todos aprenden primero la Ley de Ohm:
[matemáticas] E = IR [/ matemáticas]
Y la ley del poder:
- Mi maestra de Álgebra 1 nos da tarea todos los días, mientras que ella no les da nada a los niños de Pre-Álgebra, ¿qué debo hacer?
- Deje [math] P [/ math] ser un polinomio de grado [math] n [/ math]. ¿Cómo demuestra que la ecuación [matemática] P (x) = e ^ {x ^ {\ frac {1} {3}}} [/ matemática] tiene un máximo de [matemática] 3n + 1 [/ matemática] soluciones en [matemáticas] \ Re [/ matemáticas]?
- Cómo mostrar que [matemáticas] y = 4 ^ {\ log_2 (x)} [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas] para todos los números positivos
- ¿Qué es [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] x + \ left (\ dfrac {1} {x} \ right) = 0 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es la mejor manera de cambiar a coordenadas polares e invertir el orden de integración en integración múltiple? (Ver detalles en foto)
[matemáticas] P = VI [/ matemáticas].
La combinación de estos da:
[matemáticas] P = I ^ 2R [/ matemáticas]
Y multiplicar por tiempo da el trabajo realizado por el circuito:
[matemáticas] Q = Pt [/ matemáticas].
Esto funciona para el estado estático de un circuito de CC. Para un caso más realista, queremos la versión que varía con el tiempo:
[matemáticas] V (t) = I (t) \; R [/ matemáticas]
[matemáticas] P (t) = I ^ 2 (t) \; R [/ matemáticas]
[matemáticas] Q = \ int_a ^ b P (t) \; dt [/ math]
Esto es más complicado, ya que si alguien quiere saber “¿Cuál es el voltaje”, todo lo que podemos hacer es dar una función que varía con el tiempo. Lo que sería bueno es definir [matemática] V_ {eff} [/ matemática], [matemática] I_ {eff} [/ matemática] y [matemática] P_ {eff} [/ matemática] para que:
[matemáticas] V_ {eff} = I_ {eff} R [/ matemáticas]
[matemáticas] P_ {eff} = I_ {eff} ^ 2R [/ matemáticas]
[matemáticas] Q = P_ {eff} t [/ matemáticas].
Como [math] Q [/ math] aparece en ambas formas, comencemos bt igualando [math] Q = P_ {eff} t [/ math] y [math] Q = \ int_a ^ b P (t) \; dt [/ math].
[matemáticas] P_ {eff} (ba) = \ int_a ^ b P (t) \; dt [/ matemáticas]
[matemáticas] P_ {eff} = \ frac {\ int_a ^ b P (t) \; dt} {ba} [/ matemáticas]
Observe que el lado derecho es el cálculo del valor medio de [matemática] P (t) [/ matemática]. Esto no es sorprendente; dice que el poder efectivo es el poder promedio. ¿Quizás el voltaje y la corriente funcionan de la misma manera?
Conectando las fórmulas para [matemáticas] P_ {eff} [/ matemáticas] y [matemáticas] P (t) [/ matemáticas]:
[matemáticas] I_ {eff} ^ 2 R = \ frac {\ int_a ^ b I ^ 2 (t) R \; dt} {ba} [/ matemáticas]
Extraer [matemática] R [/ matemática] de la integral y cancelar:
[matemáticas] I_ {eff} ^ 2 = \ frac {\ int_a ^ b I ^ 2 (t) \; dt} {ba} [/ matemáticas]
Y entonces:
[matemáticas] I_ {eff} = \ sqrt {\ frac {\ int_a ^ b I ^ 2 (t) \; dt} {ba}} [/ matemáticas]
Entonces, no, [math] I_ {eff} [/ math] no es el valor promedio de [math] I (t) [/ math]. Es la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de I (t).
La fórmula para el voltaje efectivo se sigue fácilmente. Sustituyendo [matemática] I_ {eff} = V_ {eff} / R [/ matemática] y [matemática] I (t) = V (t) / R [/ matemática]:
[matemáticas] \ frac {V_ {eff}} {R} = \ sqrt {\ frac {\ int_a ^ b \ frac {V ^ 2 (t)} {R ^ 2} \; dt} {ba}} [/ matemáticas]
[matemáticas] V_ {eff} = \ sqrt {\ frac {\ int_a ^ b V ^ 2 (t) \; dt} {ba}} [/ matemáticas]
Y llegamos a un cálculo similar para el voltaje efectivo.
Esto es útil, porque ahora un electricista puede cuantificar el voltaje como “[matemática] V_ {eff} = 120 [/ matemática] voltios” en lugar de “[matemática] V (t) = 170 \ sin (\ omega t + \ phi ) [/ math] ”Voltios. Lo que significa que encenderá una bombilla de la misma manera que lo haría con 120 voltios.