Deje [math] P [/ math] ser un polinomio de grado [math] n [/ math]. ¿Cómo demuestra que la ecuación [matemática] P (x) = e ^ {x ^ {\ frac {1} {3}}} [/ matemática] tiene un máximo de [matemática] 3n + 1 [/ matemática] soluciones en [matemáticas] \ Re [/ matemáticas]?

Answer 1

Definición de multiplicidad. Una raíz [matemática] a [/ matemática] de una función diferenciable infinitamente muchas veces [matemática] f (x) [/ matemática] se dice que tiene multiplicidad [matemática] Mul [/ matemática], si [matemática] f (a) = 0 [/ matemática], y las primeras [matemática] Mul – 1 [/ matemática] derivadas de [matemática] f (x) [/ matemática] son ​​igualmente cero en [matemática] x = a [/ matemática] , pero la derivada [math] Mul [/ math] -th de [math] f (x) [/ math] no es cero.

Lema Si una función diferenciable infinitamente muchas veces [matemática] f (x) [/ matemática] tiene N raíces, contando raíces de mayor multiplicidad tantas veces como la multiplicidad, entonces [matemática] f ‘(x) [/ matemática] tiene al menos raíces [matemáticas] N-1 [/ matemáticas], del mismo modo contando raíces de mayor multiplicidad tantas veces como la multiplicidad.

Prueba. Deje que [math] x_1, x_2, \ cdots, x_M [/ math] sean las raíces distintas de [math] f (x) [/ math] (ignorando la multiplicidad). Luego, usando el Teorema de Rolle, hay una raíz de [matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas] entre [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas], y otra raíz de [matemáticas] f ‘(x) [/ math] entre [math] x_2 [/ math] y [math] x_3 [/ math], y así sucesivamente, y otra raíz de [math] f’ (x) [/ math] entre [ matemáticas] x_ {M-1} [/ matemáticas] y [matemáticas] x_M [/ matemáticas]. (El término “Entre dos puntos” excluye los dos puntos en sí mismos). Eso hace que [matemáticas] M-1 [/ matemáticas] arraigue.

Deje que [math] Mul \ left (x_j \ right) [/ math] sea la multiplicidad de [math] x_j [/ math] como raíz de [math] f (x) [/ math], y deje que [math] Mul \ left (x_j \ right)> 1 [/ math]. Entonces, [math] f (x) [/ math] es cero en [math] x = x_j [/ math], y las primeras derivadas [math] Mul \ left (x_j \ right) -1 [/ math] de [ math] f (x) [/ math] son ​​cero en [math] x = x_j [/ math], pero la [math] Mul \ left (x_j \ right) [/ math] -th derivada de [math] f ( x) [/ math] no es cero en [math] x = x_j [/ math]. Por lo tanto, [math] f ‘(x) [/ math] es cero en [math] x = x_j [/ math], y las primeras derivadas [math] Mul (x_j) -2 [/ math] de [math] f ‘(x) [/ math] son ​​cero en [math] x = x_j [/ math], pero la [math] \ left (Mul (x_j) -1 \ right) [/ math] -st derivada de [math] f (x) [/ math] no es cero en [math] x = x_j [/ math]. Eso hace que [math] x_j [/ math] sea la raíz de [math] f ‘(x) [/ math] con multiplicidad [math] Mul (x_j) – 1 [/ math]. Si en cambio [matemática] Mul (x_j) = 1 [/ matemática], entonces [matemática] f ‘(x_j) [/ matemática] no es cero, entonces [matemática] f’ (x) [/ matemática] no tiene un raíz en [matemáticas] x_j [/ matemáticas].

Agregue las multiplicidades de todas las [matemáticas] x_j [/ matemáticas] como raíces de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], lo que da [matemáticas] \ suma \ límites_ {j = 1} ^ M {Mul \ left ( x_j \ right)} [/ math], que también es igual a [math] N [/ math], porque esa es la cantidad de raíces [math] f (x) [/ math] tiene. Ahora agregue las multiplicidades de todas las [matemáticas] x_j [/ matemáticas] como raíces de [matemáticas] f ‘(x) [/ matemáticas]. Para cada [matemática] j [/ matemática], esto es [matemática] Mul (x_j) – 1 [/ matemática] (incluso si [matemática] Mul (x_j) = 1 [/ matemática], como en ese caso, [matemática ] x_j [/ math] no es una raíz de [math] f ‘(x) [/ math]). Por lo tanto, la suma de estas multiplicidades es [matemática] \ sum \ limits_ {j = 1} ^ M {\ left (Mul \ left (x_j \ right) – 1 \ right)} = \ sum \ limits_ {j = 1} ^ M {Mul \ left (x_j \ right)} – ​​M = NM [/ math].

Eso produce un total de al menos [matemática] \ izquierda (M-1 \ derecha) + \ izquierda (NM \ derecha) = N-1 [/ matemática] raíces de [matemática] f ‘(x) [/ matemática]. QED

Ahora, mira la ecuación [matemática] P \ izquierda (x ^ 3 \ derecha) – e ^ x = 0 [/ matemática]. Tome [math] 3N + 1 [/ math] derivados de esto, lo que deja [math] -e ^ x [/ math], pero cada derivada redujo el número de raíces como máximo [math] 1 [/ math]. Como [math] -e ^ x [/ math] no tiene raíces, eso significa que [math] P (x ^ 3) -e ^ x [/ math] tiene como máximo [math] 3N + 1 [/ math] raíces . Por lo tanto, [math] P \ left (x ^ 3 \ right) = e ^ x [/ math] tiene como máximo [math] 3N + 1 [/ math] soluciones, de lo que se deduce que [math] P (x) = e ^ {x ^ {\ frac {1} {3}}} [/ math] tiene como máximo [math] 3N + 1 [/ math] soluciones.