Cómo mostrar que [matemáticas] y = 4 ^ {\ log_2 (x)} [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas] para todos los números positivos

Answer 1

Otras respuestas han señalado el enfoque más simple, utilizando el hecho de que [math] 2 \ log_2 (x) = \ log_2 (x ^ 2) \ Rightarrow 2 ^ {\ log_2 (x ^ 2)} = x ^ 2 [/ math ], pero aquí hay otra forma de pensarlo:

[matemáticas] y = 4 ^ {\ log_2 (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (2 \ cdot 2) ^ {\ log_2 (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {\ log_2 (x)} \ cdot 2 ^ {log_2 (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = x \ cdot x [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 [/ matemáticas]

Quizás se pregunte por qué [matemáticas] (2 \ cdot 2) ^ {\ log_2 (x)} = 2 ^ {\ log_2 (x)} \ cdot 2 ^ {log_2 (x)} [/ math] desde [math] 2 ^ {\ log_2 (x)} \ cdot 2 ^ {log_2 (x)} = 2 ^ {\ log_2 (x) + \ log_2 (x)} = 2 ^ {2 \ cdot \ log_2 (x)} [/ math ]

Pero recuerde [matemáticas] a ^ {b \ cdot c} = {(a ^ b)} ^ c [/ matemáticas] para que

[matemáticas] 2 ^ {\ log_2 (x)} \ cdot 2 ^ {log_2 (x)} = 2 ^ {\ log_2 (x) + \ log_2 (x)} [/ math]

[matemáticas] = 2 ^ {2 \ cdot \ log_2 (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (2 ^ 2) ^ {log_2 (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 ^ {log_2 (x)}. [/ matemáticas]

Answer 2

Es necesario mostrar solo que x ^ 2 = 4 ^ (log2 (x)). Tome el registro a la base 2 del lado derecho:

log2 (4 ^ (log2 (x))) = log2 (x) .log2 (4) = log2 (x) .2.log2 (2) = 2.log2 (x) = log2 (x ^ 2).

Ahora deshaga el registro mediante el anti-registro log2 (x ^ 2):

anti-log2 [log2 (x ^ 2)] = x ^ 2 = lado izquierdo, QED.

Answer 3

Si . es lo mismo .

La solución está adjunta.

¡Espero eso ayude!

Answer 4

Todo hecho usando las leyes de los registros.

Answer 5

Answer 6

[matemáticas] 4 ^ {\ log_2 (x)} = (2 ^ 2) ^ {\ log_2 (x)} = 2 ^ {2 \ log_2 (x)} = (2 ^ {\ log_2 (x)}) ^ 2 = x ^ 2. [/matemáticas]

Answer 7

tomando el registro a base2,

㏒y = ㏒x㏒4

㏒y = (㏒x) (2)

㏒y = 2㏒x

㏒ (y) = ㏒ (x²)

∴ y = x²