Cómo calcular el PDF de la diferencia absoluta Z = | XY | de dos variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas X e Y

Answer 1

Tenga en cuenta que [math] XY [/ math] tiene una distribución normal con varianza [math] \ sigma ^ 2 = \ sigma_x ^ 2 + \ sigma_y ^ 2 [/ math] y media [math] \ mu_x- \ mu_y [/ math] .

Deje que [math] \ Phi [/ math] denote el CDF de distribución normal estándar y que [math] \ phi [/ math] denote el PDF de distribución normal estándar, lo que significa que:

[matemáticas] \ phi (x) = \ frac1 {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac12x ^ 2} [/ matemáticas]

Sea [math] U [/ math] una variable aleatoria que tenga una distribución normal estándar, sea [math] \ sigma> 0 [/ math] y [math] \ mu \ in \ mathbb R [/ math].

En primer lugar, encontraremos el CDF y, en segundo lugar, el PDF de [math] | \ sigma U + \ mu | [/ math] que tiene una distribución normal con varianza [math] \ sigma ^ 2 [/ math] y media [math] \ mu [ /matemáticas].

Denotando el CDF por [math] F [/ math] para [math] x \ geq0 [/ math] encontramos:

[matemáticas] F (x) = \ Pr (| \ sigma U + \ mu | \ leq x) = \ Pr \ left (\ frac {-x- \ mu} {\ sigma} \ leq U \ leq \ frac {x – \ mu} {\ sigma} \ right) = \ Phi (\ frac {x- \ mu} {\ sigma}) – \ Phi (\ frac {-x- \ mu} {\ sigma}) [/ math]

Denotando el PDF por [math] f [/ math] para [math] x \ geq0 [/ math] lo encontramos al diferenciar y tener en cuenta que [math] \ phi (x) = \ phi (-x) [/ math ]:

[matemáticas] f (x) = \ frac1 {\ sigma} \ left [\ phi (\ frac {x- \ mu} {\ sigma}) + \ phi (\ frac {x + \ mu} {\ sigma}) \ derecha] [/ matemáticas]

Simplemente sustituya [math] \ sigma ^ 2 = \ sigma_x ^ 2 + \ sigma_y ^ 2 [/ math] y [math] \ mu = \ mu_x- \ mu_y [/ math] en la fórmula y estará listo.

Answer 2

Si [matemáticas] W = aX + bY [/ matemáticas] entonces

[matemáticas] W∼N ​​(aμ_x + bμ_y, a ^ 2σ_x ^ 2 + b ^ 2σ_y ^ 2) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que he ajustado su notación para hacer que el segundo parámetro de [math] N (,) [/ math] sea la varianza en lugar de la desviación estándar.

Este resultado se demuestra aquí: Suma de variables aleatorias distribuidas normalmente – Wikipedia

Si establecemos [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = -1 [/ matemáticas] entonces tenemos:

[matemáticas] W = XY [/ matemáticas] y

[matemática] W∼N ​​(μ_x-μ_y, σ_x ^ 2 + σ_y ^ 2) [/ matemática]

Para lo cual el pdf es:

[matemática] f_W (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi (σ_x ^ 2 + σ_y ^ 2)}} \ exp (- \ frac {(x- (μ_x-μ_y)) ^ 2} {2 (σ_x ^ 2 + σ_y ^ 2)}) [/ math]

Finalmente, necesitamos encontrar el pdf del valor absoluto de [math] Z = | W | [/ math]. El valor absoluto de una distribución normal se llama distribución normal plegada – Wikipedia. Puede encontrar el pdf simplemente sumando el pdf de [math] W [/ math] en [math] x [/ math] y [math] -x [/ math].

[matemáticas] f_Z (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi (σ_x ^ 2 + σ_y ^ 2)}} [\ exp (- \ frac {(x- (μ_x-μ_y)) ^ 2 } {2 (σ_x ^ 2 + σ_y ^ 2)}) + \ exp (- \ frac {(x + (μ_x-μ_y)) ^ 2} {2 (σ_x ^ 2 + σ_y ^ 2)})] [/ math ]

para [matemáticas] x> = 0 [/ matemáticas].