Cómo evaluar [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} {\ dfrac {\ sin {x}} {x}} [/ matemáticas]

Answer 1

No me gustan las respuestas anteriores. Todos son correctos (o tal vez en su mayoría), pero supongamos que recién comienza a aprender sobre el cálculo y la función seno. El uso de la regla de l’Hopital supone que ya sabe cómo diferenciar la función seno y en los tratamientos elementales que utilizan precisamente lo que se le pide que calcule.
Si define la función seno mediante su serie MacLaurin, el resultado es obvio. Tales pruebas están bien en trabajos avanzados.
Las definiciones elementales se basan en diagramas. Si ese es su nivel de experiencia, dibuje un arco de círculo, radio 1, con ángulo entre radios 2x (en radianes). Dibuja el acorde desde los extremos de los radios y la tangente en el punto medio del arco que se encuentra con los radios extendidos. Luego puede identificar tres áreas anidadas obvias, sen x, x y tan x. También puede identificar cos x como la distancia desde el centro hasta el punto medio del acorde. Por lo tanto, x se comprime entre sen x y tan x. Entonces sen x / x 1,
es decir, sen x / x> cos x = sqrt (1-sin ^ 2 x)> sqrt (1-x ^ 2). El lado derecho tiende a 1 como x tiende a cero. Supuse que x es positivo, pero por simetría, x negativo da el mismo límite.

Answer 2

1er método

ahora divida por x, y aplique el límite x → 0

obtendrá 1 como respuesta.

2do método

puedes usar el hospital aquí

entonces se convertirá como limx → 0 (cosx) = 1

Answer 3

lim x-> 0 (sinx / x)

si pones x = 0, obtendrás una solución (0/0) , que se llama solución indeterminada .

Para superar estas situaciones hay una regla conocida como L. Regla de hospital aplicada a la ecuación.

Esta regla establece que tenemos que encontrar la derivada tanto del numerador (es decir, SIN X) como del denominador (es decir, X) con respecto a X. Después de eso tenemos que poner el valor de X-> 0.

Responder:

lim x-> 0 [(Sin X) / X]

Aplicación de la regla del hospital L.

= Lim x-> 0 [{(d / dX) (Sin X)} / {(d / dX) (X)}]

= Lim x-> 0 [(Cos X) / 1]

Aquí al poner X = 0, obtenemos

= {Cos (0)} / 1

= 1/1 = 1

Answer 4

Answer 5

Te daré una pista:

[matemáticas] sinx = \ frac {1} {2i} (e ^ {ix} – e ^ {- ix}); [/matemáticas]

Luego intente usar esta fórmula para límite (con alguna manipulación):

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {e ^ x – 1} {x} = 1 [/ matemáticas]

Creo que obtendrás la respuesta.

Answer 6

Cuando x está en radianes, a medida que x se aproxima a 0, [math] sinx [/ math] se aproxima a x.

Entonces [matemáticas] lim (\ frac {sinx} {x}) = \ frac {x} {x} = 1 [/ matemáticas]