No, la identidad de Euler es álgebra muy concreta. Álgebra abstracta, grupos, anillos, campos y similares, es el estudio de lo que podemos decir sobre las estructuras algebraicas en general. La fórmula de Euler [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas] y la identidad de Euler [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas] están muy específicamente vinculadas al campo de números complejos (Probablemente se ha generalizado más allá de eso, pero mantengámonos enfocados).
Con suerte, aprenderás la Fórmula e identidad de Euler en la escuela secundaria, presumiblemente después de la trigonometría. Si desea revertirlo y ver cuánta trigonometría puede obtener conociendo solo la Fórmula e Identidad de Euler, lea mi publicación de blog.
Si bien tengo su atención, no caiga en la exageración sobre la identidad de Euler como la ecuación más hermosa en matemáticas, o cualquier cosa tonta que la gente diga. Y te diré que escribir [matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = 0, [/ matemáticas] o incluir una imagen de ese tipo en letra grande, generalmente es una indicación de que nunca has usado la identidad de Euler para resolver un problema matemático real. Puede hacerlo genial si lo sigue con una factorización como [math] 0 = e ^ {i \ pi} + 1 [/ math] [math] = e ^ {i \ pi / 2} (e ^ {i \ pi / 2} + e ^ {- i \ pi / 2}) [/ math] [math] = 2 e ^ {i \ pi / 2} \ cos \ frac \ pi 2, [/ math] es decir [math] ] \ cos \ frac \ pi 2 = 0. [/ math] ¿Pero quién lo hace?
Euler se equivocó constantemente en el círculo. El correcto es lo que llamamos [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]: es todo el círculo, 360 grados. Lo que llamo la verdadera identidad de Euler es la identidad de Euler al cuadrado:
[matemáticas] e ^ {2 \ pi i} = 1 [/ matemáticas]
Ese es el que merece la exageración. Si Euler hubiera usado [matemática] \ tau = 2 \ pi [/ matemática], leería [matemática] e ^ {i \ tau} = 1, [/ matemática] tan hermosa como la identidad actual de Euler.
La verdadera identidad de Euler encapsula la periodicidad fundamental de los exponenciales imaginarios y, a través de la fórmula de Euler, la periodicidad fundamental de las funciones trigonométricas seno y coseno (y sus hermanos). En todo el bombo sobre la identidad de Euler, no recuerdo que nadie mencione la periodicidad.
La verdadera identidad de Euler también es la fuente de expresiones complejas de valores múltiples. Dado que para todos los enteros [matemáticas] k, [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1 ^ k = 1, [/ matemáticas] podemos sustituir [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki } [/ math] para [math] 1 [/ math] en cualquier expresión, y ahora tenemos un parámetro [math] k [/ math] que, en esencia, genera varios nombres para el mismo número. Después de la manipulación, nuestra expresión podría terminar dando valores diferentes para [math] k [/ math] s diferentes, es decir, es multivalor.
Un ejemplo son las raíces de la unidad [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] n [/ matemáticas]:
[matemáticas] 1 ^ {\ frac 1 n} = (e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 n} = e ^ {2 \ pi ki / n} [/ matemáticas]
Aquí obtenemos valores diferentes para diferentes [matemáticas] k [/ matemáticas] s. Después de [math] n [/ math] consecutivos [math] k [/ math] s los valores comienzan a repetirse, por lo que aquí solo hay números únicos [math] n [/ math].
Usted preguntó acerca de la clase de álgebra abstracta y aquí estamos en [matemáticas] n [/ matemáticas] raíces de la unidad. Dejaré de divagar ahora.