[matemáticas] \ dfrac x 8 + \ dfrac y 5 = \ dfrac {31} {40} [/ matemáticas]
[matemáticas] 5x + 8y = 31 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación lineal de diofantina. Hay más incógnitas que ecuaciones, y la solución debe ser números enteros. Para esta pregunta, también deben ser positivos.
Estoy seguro de que las otras soluciones harán el método de prueba y error obvio, donde se busca un positivo [matemático] y [/ matemático] de modo que 5 divida un positivo [matemático] 31–8y [/ matemático]. Solo hay [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] y = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 3 [/ matemáticas] para probar. Es bastante fácil, pero mostraré un método general que utiliza fracciones continuas y funcionará cuando los números sean grandes.
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Primero expandimos [math] \ dfrac 5 8 [/ math] como una fracción continua simple, lo que significa que todos los numeradores son 1:
[matemáticas] \ dfrac 5 8 = 0 + \ dfrac {1} {\ frac 8 5} = 0 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac 3 5} = 0 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {\ frac 5 3}} = 0 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac 2 3}} [/ math]
[matemáticas] = 0 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {\ frac 3 2}}} = 0 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1 } {1 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac 1 2}}} [/ math]
Terminamos cuando todos los numeradores son 1. Escribimos esto de manera más compacta como
[matemáticas] \ dfrac 5 8 = [0, 1, 1, 1, 2] [/ matemáticas]
Es conveniente tener un número par de cocientes parciales (así se llaman), por lo que cambiamos el 2 al final de nuestra fracción a [matemáticas] 1+ \ dfrac 1 1 [/ matemáticas] y obtenemos
[matemáticas] \ dfrac 5 8 = [0, 1, 1, 1, 1, 1] = 0 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1+ \ dfrac 1 1}}}} [/ matemáticas]
Los convergentes son lo que obtienes cuando tomas prefijos de esta secuencia. Si los resuelve, notará algunos números de Fibonacci. Solo nos interesa el penúltimo convergente:
[matemáticas] [0, 1, 1, 1, 1] = 0 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {1}} }} = \ dfrac 3 5 [/ matemáticas]
Los convergentes sucesivos tienen la propiedad de que la diferencia de los productos cruzados es siempre [matemática] \ pm 1. [/ matemática] Por ejemplo, aquí
[matemáticas] 5 \ cdot 5 – 8 \ cdot 3 = 1 [/ matemáticas]
Si hubiéramos comenzado con un número impar de cocientes parciales, habríamos obtenido -1 aquí, lo que estaría bien (simplemente multiplique por -31 en lugar de los 31 que se usan a continuación), pero usualmente vamos con +1.
Ahora tenemos que masajear nuestro resultado en la solución general de nuestra ecuación original. Muevamos un signo menos y multipliquemos por 31:
[matemáticas] 5 \ cdot 5 \ cdot 31 + 8 \ cdot (-3 \ cdot 31) = 31 [/ matemáticas]
[matemáticas] 5 \ cdot 155 + 8 \ cdot -93 = 31 [/ matemáticas]
Encontramos una solución particular a nuestra ecuación original. [matemáticas] y [/ matemáticas] es negativo, por lo que no hemos terminado. Para obtener la solución general, tenga en cuenta que para entero [math] t [/ math],
[matemáticas] 5 \ cdot 8t + 8 \ cdot (-5t) = 0 [/ matemáticas]
Sumando estas ecuaciones obtenemos
[matemáticas] 5 (155 + 8t) + 8 (-93 – 5t) = 31 [/ matemáticas]
entonces la solución general es
[matemáticas] x = 155 + 8t [/ matemáticas]
[matemáticas] y = -93-5t [/ matemáticas]
Requerimos que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] sean positivos:
[matemáticas] 155 + 8t> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] t> \ dfrac {-155} {8} \ aprox -19.4 [/ matemáticas]
[matemáticas] -93 -5t> 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] t <\ dfrac {93} {- 5} = -18.6 [/ matemáticas]
El único número entero que satisface ambas desigualdades es [math] t = -19 [/ math]
[matemáticas] x = 155 + 8 (-19) = 3 [/ matemáticas]
[matemática] y = -93-5 (-19) = 2 [/ matemática]
Releyendo la pregunta, [matemáticas] x + y = 5 [/ matemáticas]