¿Cómo se puede explicar la fórmula matemática para los límites de funciones?

Answer 1

Supongamos que [matemáticas] \; \; f \; \; [/ math] es una función de valor real definida en algún intervalo abierto [math] \; \; (a, b) \; \; [/ math] y [math] \; \; c \; \; [/ math] es un punto dado en [math] \; \; (a, b) \;. \; [/ math]

Decimos que el límite de [matemáticas] \; \; f (x) \; \; [/ matemáticas] como [matemáticas] \; \; x \; \; [/ matemáticas] tiende a [matemáticas] \; \ ; c \; \; \; [/ math] existe como el número [math] \; L \; \; [/ math] iff when [math] \; x \; \; [/ math] (un punto variable en el dominio) enfoques para [matemáticas] \; \; c \; \; [/ math] tomando diferentes puntos en el dominio, los valores de la función [math] \; \; f (x) \; \; [/ math] acercándose muy (arbitrariamente) al número [math] \; L \;. \; [/ math] Esto significa la distancia entre el valor de la función [math] \; \; f (x) \; \; [/ math] y [math] \; \; L \; \; [/ math] puede hacerse menos que cualquier número positivo preasignado proporcionado [math] \; \; x \; \; i [/ math] s suficientemente cerca del punto [math] \; \; c \;. \; [/ math]

Este hecho también se puede expresar de la siguiente manera: dado cualquier número real positivo [matemáticas] \; \; \ epsilon \; \; ([/ matemáticas] por pequeño que sea) existe un número real positivo correspondiente [matemáticas] \; \; \ delta \; \; [/ math] de modo que siempre que la distancia entre [math] \; \; x \; \; [/ math] y [math] \; \; c \; \; [/ math] es menor que [math] \; \ delta \;, \; [/ math] la distancia entre [math] \; \; f (x) \; \; [/ math] y [math] \; \; L \; \; [/ math] es menor que [math] \; \ epsilon \;. \; [/ math]

es decir, dado cualquier [matemática] \; \; \ epsilon> 0 \; \;, \; \; \ exist \; \ delta> 0 \; \; [/ math] tal que [math] \; \; | xc | \; <\; \ delta \; \ Longrightarrow \; | f (x) – L | …………………..(1)

La condición (1) asegura que [math] \; \; | f (x) -L | \; \ longrightarrow \; 0 \; \; [/ math] como [math] \; \; | xc | \; \ longrightarrow \; 0 \;. \; [/matemáticas]

Answer 2

La definición de estados límite:

Sea [math] f (x) [/ math] una función definida en un intervalo que contiene [math] x = a [/ math] , donde [math] f (a) [/ math] no necesariamente tiene que ser definido. Entonces [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to {a}} {f (x)} = L [/ math] ,

Si por cada [math] \ epsilon> 0, [/ math] existe un [math] \ delta> 0 [/ math] tal que

[matemáticas] | f (x) -L | <\ epsilon [/ matemáticas] y [matemáticas] 0 <| xa | <\ delta [/ matemáticas].

Lo que esto significa es que para cualquier número [math] \ epsilon> 0 [/ math], podemos dibujar dos líneas horizontales en [math] L + \ epsilon [/ math] y [math] L- \ epsilon [/ math]. (mostrado anteriormente). Entonces, si el límite existe, debe haber alguna [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] de modo que podamos agregar dos líneas verticales [matemática] a- \ delta [/ matemática] y [matemática] a + \ delta. [ / math] (también se muestra arriba.

Puede ver que para cualquier [matemática] x [/ matemática] que seleccionamos en la región rosada, estará más cerca de la línea vertical [matemática] a, [/ matemática], por lo que podemos decir que [matemática] | xa | < \ delta [/ math], o la distancia desde la línea [math] a [/ math] es menor que la distancia desde [math] a- \ delta [/ math] o [math] a + \ delta. [/ math ]

Podemos hacer lo mismo seleccionando un punto que se encuentra en la región amarilla. Estará más cerca de [matemática] L [/ matemática], entonces [matemática] | f (x) -L | <\ epsilon. [/ Matemática] Es una función aquí y no una [matemática] x [/ matemática] porque estamos buscando una [matemática] f (x) [/ matemática] que se encuentra en la región amarilla.

Si siempre existe un [math] \ delta [/ math] por cada [math] \ epsilon [/ math] que elegimos, entonces decimos que [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to {a}} {f ( x)} = L [/ matemáticas]

Avíseme si debo agregar un ejemplo. Espero que esto haya ayudado!