¿Qué es [math] \ int \ tan ^ {- 1} (x!) Dx [/ math]?

Answer 1

Dado que la función factorial solo se aplica al espacio de números enteros no negativos, que es un espacio discreto, la expresión [math] \ int \ tan ^ {- 1} {x!} Dx [/ math] es incorrecta. Esto se debe a que está intentando sumar las partes infinitesimales de una variable que no tiene partes infinitesimales, es decir, [math] dx. [/ Math]

En su lugar, puede aplicar la versión discreta de la integral, es decir, la suma. Entonces, la expresión correcta debería ser

[matemáticas] \ sum \ tan ^ {- 1} {n!}, n \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq0} [/ matemáticas]

que no tiene una forma cerrada. Tenga en cuenta que es una función discreta, sin embargo, puede ser aproximada por una “función lineal discreta”. Esto se puede mostrar con el siguiente argumento. Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ tan ^ {- 1} {n!} = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sum \ tan ^ {- 1} {n!} = \ frac {\ pi} {2} n [/ matemáticas]

Esto significa que para valores grandes de [math] n, [/ math] el valor de la suma [math] \ sum \ tan ^ {- 1} {n!} [/ Math] puede ser aproximado por una relación directamente proporcional en el que la proporción es [matemáticas] \ frac {\ pi} {2}. [/ matemáticas]

Answer 2

El factorial [math] x! [/ Math] solo se define para enteros positivos, por lo tanto, la integral tal como es no tiene sentido para mí.

Lo que puedes hacer es preguntar qué es

[matemáticas] \ int \ tan ^ {- 1} (\ Gamma (x)) dx. \ tag {1} [/ matemáticas]

La función Gamma en (1) es la extensión del factorial de manera continua. Específicamente, tiene la propiedad de que [matemáticas] \ Gamma (n + 1) = n \ Gamma (n) [/ matemáticas] para todos (para nuestros propósitos) números reales positivos.

Así es como se ve [math] \ tan ^ {- 1} (\ Gamma (x)) [/ math]:

(1) no tiene una forma cerrada, es decir, no podemos escribir una anti-derivada para [math] \ tan ^ {- 1} (\ Gamma (x)) [/ math] en términos de una combinación finita de lo habitual funciones (seno, coseno, raíz cuadrada, etc.), ya que eso implicaría una forma cerrada para la función Gamma.

Answer 3

Los factoriales solo se definen para enteros, por lo que, como está escrito, esto no tiene sentido. Sería significativo si x! fueron reemplazados por la función gamma, Gamma (x + 1), pero es muy poco probable que haya una forma cerrada. Pero podría intentar sustituir u = Gamma (x + 1) e integrar por partes. Alternativamente, integre por partes directamente, la parte que integra es 1. Si todo lo demás falla, use una aproximación numérica.