¿Cuál es el valor mínimo y máximo de esta expresión [matemáticas] \ sin ^ 2x – \ sin x – 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Es un formato de función cuadrática, que involucra proporciones trigonométricas.

[matemáticas] \ sin ^ 2 x- \ sin x-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sin ^ 2 x-2 \ sin x \ cdot \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {4} – \ dfrac {1} {4} -2 [/ matemáticas]

[matemática] = \ left (\ sin x- \ dfrac {1} {2} \ right) ^ 2- \ dfrac {9} {4} [/ math]

El valor mínimo es [matemática] – \ dfrac {9} {4} [/ matemática]

Sabemos

[matemáticas] -1 \ leq \ sin x \ leq 1 [/ matemáticas]

Valor medio [matemática] = 0 [/ matemática]

Cuando [math] \ sin x = 1 [/ math], el valor de la función es [math] -2 [/ math]

Cuando [math] \ sin x = 0 [/ math], el valor de la función es [math] -2 [/ math]

Cuando [math] \ sin x = -1 [/ math], el valor de la función es [math] 0 [/ math]

---

Valor máximo [matemática] = 0 [/ matemática]

Valor mínimo [matemática] = – \ dfrac {9} {4} [/ matemática]

Answer 2

Este problema se puede resolver con Mathematica. Se obtiene un boceto general y un diagrama de la curva escribiendo:

Trazar [(Sin [x]) ^ 2 – Sin [x] – 2, {x, -15, 15},
PlotStyle -> {Purple, Thick}]

La trama resultante es la siguiente:

Un máximo global de [matemáticas] f (x) = sin ^ 2 x -sin x-2 [/ matemáticas] se puede encontrar escribiendo:

Maximizar [(Sin [x]) ^ 2 – Sin [x] – 2, x]

El máximo obtenido es [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] para [matemática] x = \ frac {3 \ pi} {2} [/ matemática]

Escribiendo el código:

Minimizar [(Sin [x]) ^ 2 – Sin [x] – 2, x]

produce el mínimo (global) [matemática] f (x) = – \ frac {9} {4} [/ matemática] en [matemática] x = \ frac {\ pi} {6} [/ matemática]

Se puede observar en la gráfica anterior que un mínimo local se encuentra en [math] x = -2 [/ math]. De hecho escribiendo el código:

SetPrecision [FindMaximum [(Sin [x]) ^ 2 – Sin [x] – 2, x], 20]

da la salida:

{-2.0000000000000000000, {x -> 1.5707963267948945596}}

lo que significa que hay un máximo (local) [matemático] f (x) = -2 [/ matemático] en

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {\ pi} {2} \ aprox 1.5707963267948945596 [/ matemáticas]

La derivada de la función dada se puede obtener escribiendo:

D [(Sin [x]) ^ 2 – Sin [x] – 2, x]

El resultado o respuesta es:

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = 2 \ sin (x) \ cos (x) – \ cos (x) [/ matemáticas]

La primera derivada anterior se iguala a cero y las raíces se pueden encontrar escribiendo:

Reducir [-Cos [x] + 2 Cos [x] Sin [x] == 0, x]

El resultado o solución obtenida es:

[matemáticas] \ displaystyle \ left (x = 2 \ pi c_ 1 – \ frac {\ pi} {2} \ lor x = 2 \ pi c_ 1 + \ frac {\ pi} {2} \ lor x = 2 \ pi c_ 1 + \ frac {\ pi} {6} \ lor x = 2 \ pi c_ 1 + \ frac {5 \ pi} {6} \ right) [/ math]

con [math] c_ 1 \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Utilizando todos los resultados encontrados, se puede deducir que [matemáticas] f (x) = sin ^ 2 x -sin x-2 [/ matemáticas] tiene los siguientes máximos globales:

[math] \ max \ left \ {f (x) \ right \} = 0 [/ math] en [math] \ displaystyle x = – \ frac {\ pi} {2} +2 n \ pi [/ math] con [matemáticas] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

[math] \ max \ left \ {f (x) \ right \} = 0 [/ math] en [math] \ displaystyle x = \ frac {3 \ pi} {2} +2 n \ pi [/ math] con [matemáticas] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

[math] f (x) [/ math] tiene los siguientes mínimos globales:

[matemáticas] \ min \ izquierda \ {f (x) \ derecha \} = – \ frac {9} {4} [/ matemáticas] en [matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {\ pi} {6} +2 n \ pi [/ math] con [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

[matemáticas] \ min \ left \ {f (x) \ right \} = – \ frac {9} {4} [/ matemáticas] en [matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {5 \ pi} {6} + 2 n \ pi [/ math] con [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Y [math] f (x) [/ math] tiene el máximo local

[matemáticas] \ max \ left \ {f (x) \ right \} = -2 [/ math] en [math] \ displaystyle x = \ frac {\ pi} {2} +2 n \ pi [/ math] con [matemáticas] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

Aquí hay una gráfica de la función dada con los valores numéricos de los extremos (máximos y mínimos) que se muestran en rojo (de Wolfram Alpha):

Answer 3

La mejor manera de resolver este problema es usar un poco de cálculo elemental. Usando la derivada de la función, se pueden encontrar los números críticos de la función. Sin embargo, primero supongo que el 0 debería ser realmente f (x) o cualquier notación de función, ya que el 0 simplemente lo convertiría en una ecuación que tiene un número infinito de soluciones.

Entonces, para encontrar los números críticos de f, necesitamos encontrar la derivada de la función, que podemos encontrar como f ‘(x) = sen 2x – cos x. La función se define en todos los puntos, por lo que resolver para x da que x = π / 2 + π * n, x = π / 6 + 2π * n, y x = 5π / 6 + 2π * n, donde n es un número entero .

Esto significa que si habrá un máximo o un mínimo de la función, ocurrirá en uno de estos dos puntos.

Se puede hacer un análisis final de la función, que es encontrar el período. El período de sin ^ 2 x es π, y el período de sin x es 2π, por lo que analíticamente, el período de toda la función es 2π. Esto significa que solo tenemos que verificar los números críticos dentro de un intervalo de longitud 2π.

Entonces:

f (π / 6) = 1/4 -1/2 -2 = -2.25

f (π / 2) = 1 – 1 – 2 = -2

f (5π / 6) = 1/4 – 1/2 – 2 = -2.25

f (3π / 2) = 1 – (-1) – 2 = 0

Debido a que los máximos y mínimos ocurren solo en puntos críticos, el valor máximo de la función se puede concluir que es 0 y el valor mínimo se puede concluir que es -2.25.

¡Espero que esto ayude!

Answer 4

Para valor máximo o mínimo f ‘(x) = 0. Así

Valor máximo 0 y valor mínimo – 9/4

Answer 5

Esa no es una expresión, es una ecuación.

Si quiere decir cuál es el rango de [matemática] f (x) [/ matemática] donde [matemática] f (x) = sin ^ 2x-sinx-2 [/ matemática] entonces le recomiendo completar el cuadrado.

Si quiere decir cuál es el valor mínimo y máximo si [matemática] x [/ matemática], entonces no hay límites como se muestra a continuación.

Para resolverlo

[matemáticas] sin ^ 2x-sinx-2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (sinx-2) (sinx + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] sinx = 2 o -1 [/ matemáticas]

[matemática] -1 \ le sinx \ le 1 \ implica senx = -1 [/ matemática]

[matemáticas] senx = 1 \ implica x = \ fracπ2 + 2kπ \ forall k \ in \ Z [/ matemáticas]

Por lo tanto, no hay límite en el valor de [math] x [/ math] ya que puede tomar un número infinito de valores igualmente espaciados.

Answer 6

[matemáticas] {sin} ^ {2} x – sinx -2 = (sinx -1/2) ^ {2} -9/4 [/ matemáticas]

De esta expresión, queda claro que el valor mínimo de la expresión = [math] -9/4. [/ Math]

Para el valor máximo: cuando [matemáticas] Sinx = -1 [/ matemáticas]

Entonces alcanza el valor máximo.

Answer 7

Los valores [math] \ min [/ math] y [math] \ max [/ math] de [math] x [/ math] if [math] \ sin ^ 2x- \ sin x-2 = 0 [/ math] son [math] – \ infty [/ math] y [math] \ infty [/ math].

Quizás lo que desea son los valores [matemática] \ min [/ matemática] y [matemática] \ max [/ matemática] de [matemática] f (x) [/ matemática] si [matemática] f (x) = \ sin ^ 2x- \ sen x-2 [/ math], en cuyo caso las respuestas son [math] – \ frac {9} {4} [/ math] y [math] 0 [/ math], como se puede ver graficando .

Answer 8

Realmente me gusta la respuesta de Shivang Shekar, pero voy a elaborar el método estándar para diferenciar y establecer el resultado en 0.

Obviamente no tiene sentido encontrar el extremo de una ecuación, por lo tanto, voy a asumir la función [matemáticas] f (x) = \ sin ^ 2x – \ sin x -2 [/ matemáticas], y encontrar su máximo y mínimo.

Al diferenciar con respecto a x y establecer el resultado en 0, obtenemos

[matemática] f ‘(x) = 2 \ sen x \ cos x – \ cos x = \ cos x (2 \ sen x -1) = 0 [/ matemática].

Esto implica uno de los siguientes:

• [matemática] \ cos x = 0 [/ matemática] [matemática] \ implica \ sin x = \ sqrt {1 – \ cos ^ 2x} = \ pm 1 [/ matemática].

• [matemáticas] \ sen x = 1 \ implica f (x: \ sin x = 1) = 1 – 1 – 2 = -2 [/ matemáticas].
• [matemáticas] \ sen x = -1 \ implica f (x: \ sin x = -1) = 1 + 1 – 2 = 0 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ sin x = \ frac {1} {2} \ implica f (x: \ sin x = \ frac {1} {2}) = \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2 – \ frac {1} {2} -2 = \ frac {1} {4} – \ frac {1} {2} -2 = – \ frac {9} {4} = -2.25. [/ Matemáticas]

Entonces, el mínimo es [math] \ text {min} \ {- 2, 0, -2.25 \} = -2.25 [/ math].

El máximo es [math] \ text {max} \ {- 2, 0, -2.25 \} = 0 [/ math].

El valor -2 sugiere un máximo local .

Esto es confirmado por la trama (intervalo [matemática] [- \ pi, \ pi] [/ matemática])

Answer 9

Sin puede tomar valores que van desde -1 a 1. Puede usar esto para su ventaja.

[math] -sinx [/ math] también toma valores entre -1 y 1. ¿Qué obtiene [math] sin ^ 2x [/ math]? Bueno, entre 0 y 1, ya que puedes hacer esto: [matemática] -1 <= senx <= 1 - [/ matemática] -> [matemática] 0 <= sen ^ 2x <= 1 [/ matemática]. No hay ningún valor entre -1 y 1 que pueda ser mayor que 1 cuando se eleva al cuadrado, y esto es trivial. Súmalos y puedes tener:

[matemáticas] -1 <= sin ^ 2x - sinx <= 2 [/ matemáticas]

Bueno, reste 2 de ambos lados y obtendrá sus resultados con bastante facilidad:

[matemáticas] -3 <= sin ^ 2x - sinx - 2 <= 0 [/ matemáticas]

Editar: La pregunta también es preguntar algo que no tiene mucho sentido para ser honesto. ¿Valor máximo de una expresión que es igual a 0? Hm.

Answer 10

Eso es

Puedes trazarlo incluso para comprobar

Answer 11

Usando el método de completar los cuadrados:

[matemáticas] f (x) = sin ^ 2 (x) -sin (x) -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = sin ^ 2 (x) -2 (\ frac {1} {2}) sin (x) + \ frac {1} {4} – \ frac {1} {4} –2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (sin (x) – \ frac {1} {2}) ^ 2- \ frac {9} {4} [/ matemáticas]

Ahora,

[matemáticas] -1 \ leq sin (x) \ leq 1 [/ matemáticas]

[matemática] -1– \ frac {1} {2} \ leq sin (x) – \ frac {1} {2} \ leq 1– \ frac {1} {2} [/ matemática] (Restando [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] en todo momento)

Tomando el más alto de los dos límites

[matemática] 0 \ leq (sin (x) – \ frac {1} {2}) ^ 2 \ leq (- \ frac {3} {2}) ^ 2 [/ matemática]

Por lo tanto,

[matemáticas] 0– \ frac {9} {4} \ leq (sin (x) – \ frac {1} {2}) ^ 2- \ frac {9} {4} \ leq \ frac {9} {4 } – \ frac {9} {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {9} {4} \ leq f (x) \ leq0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f_ {max} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f_ {min} = – 9/4 [/ matemáticas]