Cómo probar con la definición del delta del épsilon que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to1} \ frac {2x} {x ^ 2 + 1} = 1 [/ matemáticas]

Answer 1

¿Por qué no probar lo más genérico? Que si [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = L [/ math] y [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} g (x ) = M \ neq 0 [/ math], luego [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {L} {M} [/ matemáticas]?

Intentaremos hacer esto ab initio y con rigor. Probamos los siguientes dos teoremas antes de probar finalmente la afirmación anterior.

Teorema 1: Si [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) = L \ neq 0 [/ math], entonces [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ dfrac {1} {f (x)} = \ dfrac {1} {L} [/ math].

Prueba: tenemos,

[matemáticas] \ left | \ dfrac {1} {f (x)} – \ dfrac {1} {L} \ right | = \ dfrac {| f (x) – L |} {| L || f (x) |} [/ math]

Debido a que [matemática] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) = L [/ matemática], podemos encontrar [matemática] \ forall \ epsilon> 0 [/ matemática] a [matemática] \ delta> 0 [ / matemáticas] tal que [matemáticas] 0 <| x – a | <\ delta \ implica | f (x) – L | <\ epsilon [/ math]. Sea [math] \ lambda [/ math] el valor mínimo de [math] | f (x) | [/ math] en el intervalo [math] 0 <| x – a | <\ delta [/ math]. Elegimos nuestro delta con cuidado para que en ningún lugar ese intervalo sea [matemático] | f (x) | = 0 [/ matemáticas]. Deje [math] \ epsilon_1 = \ dfrac {\ epsilon} {\ lambda | L |} [/ math]. Tenga en cuenta que existe una correspondencia uno a uno entre [math] \ epsilon [/ math] y [math] \ epsilon_1 [/ math]. Entonces,

[matemáticas] 0 <| x – a | <\ delta \ implica \ dfrac {| f (x) – L |} {| L || f (x) |} <\ dfrac {| f (x) – L |} {\ lambda | L |} <\ epsilon_1 [/ math]

Por lo tanto, hemos encontrado un [math] \ delta [/ math] para cada [math] \ epsilon_1> 0 [/ math].

Teorema 2: Si [matemática] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) = L [/ matemática] y [matemática] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} g (x) = M [/ matemática ], luego [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) g (x) = LM [/ matemáticas].

Prueba: debido a que [matemática] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) = L [/ matemática], podemos encontrar [matemática] \ forall \ epsilon_1> 0 [/ matemática] a [matemática] \ delta_1> 0 [/ math] tal que [math] 0 <| x – a | <\ delta_1 \ implica | f (x) – L | 0 [/ matemática] a [matemática] \ delta_2> 0 [/ matemática] tal que [matemática] 0 <| x – a | <\ delta_2 \ implica | g (x) – M | <\ epsilon_2 [/ math]. Entonces, [matemáticas] | f (x) – L || g (x) – M | <\ epsilon_1 \ epsilon_2 [/ math]. Consideramos el lado izquierdo de la desigualdad:

[matemáticas] | f (x) – L || g (x) – M = | f (x) g (x) -Lg (x) – Mf (x) + LM | [/matemáticas]

[matemáticas] = | f (x) g (x) – L (g (x) – M) – M (f (x) – L) – LM | [/matemáticas]

[matemáticas] \ geq | f (x) g (x) – LM | – | L (g (x) – M) + M (f (x) – L) | [/matemáticas]

[matemáticas] \ geq | f (x) g (x) – LM | – | L || g (x) – M | – | M || f (x) – L | [/matemáticas]

[matemáticas]> | f (x) g (x) – LM | – L \ epsilon_2 – M \ epsilon_1 [/ math]

Para las manipulaciones anteriores, usamos las siguientes reglas de la desigualdad de triángulos:

[matemáticas] | a + b | \ leq | a | + | b | [/ matemáticas]

[matemáticas] | a – b | \ geq | a | – | b | [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] | f (x) g (x) – LM | <\ epsilon_1 \ epsilon_2 + | L | \ epsilon_2 + | M | \ epsilon_1 [/ math]

Deje [math] \ epsilon_1 \ epsilon_2 + | L | \ epsilon_2 + | M | \ epsilon_1 = \ epsilon [/ math] y [math] \ delta = \ text {min} (\ delta_1, \ delta_2) [/ math]. Por lo tanto, hemos demostrado que [matemáticas] 0 <| x – a | <\ delta \ implica | f (x) g (x) – LM | <\ epsilon [/ math].

Ahora estamos listos para probar el resultado final:

Teorema: Si [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} f (x) = L [/ matemáticas] y [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a a} g (x) = M \ neq 0 [ / math], luego [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {L} {M} [/ math].

Prueba: Sigue directamente de los teoremas [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas].

Answer 2

Las otras respuestas son agradables y directas. Otro enfoque, que podría decirse que es más beneficioso para aquellos interesados ​​en las matemáticas, es probar resultados más generales (usando la definición [math] \ epsilon [/ math] – [math] \ delta [/ math]) y luego aplicarlos a esto problema específico Puede encontrar algunos ejemplos de teoremas de límites aquí o en un texto de análisis.

Answer 3

Yo iría con:

[matemáticas] | x-1 | <\ delta \ implica - \ delta

[matemáticas] | \ frac {2 x} {x ^ 2 + 1} – 1 | = \ frac {x ^ 2 – 2 x + 1} {x ^ 2 + 1}. [/ math]

[matemáticas] x ^ 2 – 2 x + 1 = (x-1) ^ 2 <\ delta ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 1> (1 – \ delta) ^ 2 + 1 = \ delta ^ 2 + 2 (1 – \ delta) [/ matemáticas]

Entonces tenemos eso:

[matemáticas] | \ frac {x ^ 2 – 2 x + 1} {x ^ 2 + 1} | <\ frac {\ delta ^ 2} {\ delta ^ 2 + 2 (1 - \ delta)} \ leq \ épsilon [/ matemáticas]

Donde la última desigualdad es algo que exigimos.

podemos resolverlo fácilmente si es una igualdad:

[matemáticas] \ frac {\ delta ^ 2} {\ delta ^ 2 + 2 (1 – \ delta)} \ leq \ epsilon [/ matemáticas]

Con la solucion:

[matemáticas] \ delta (\ epsilon) = \ frac {\ epsilon \ pm \ sqrt {2 \ epsilon – \ epsilon ^ 2}} {\ epsilon – 1} [/ math]

Tenemos que tomar la solución con el signo menos porque el denominador es negativo para pequeñas [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas]. Entonces obtenemos:

[matemáticas] \ delta (\ epsilon) = \ frac {\ epsilon – \ sqrt {2 \ epsilon – \ epsilon ^ 2}} {\ epsilon – 1} [/ math]

Con esta elección de [math] \ delta [/ math], tenemos una elección arbitraria de [math] \ epsilon [/ math], que siempre que elija una x tal que [math] | x-1 | <\ delta [/ math], obtienes [math] | \ frac {2 x} {x ^ 2 + 1} - 1 | <\ epsilon [/ math]. Cuál es la definición del límite.

Es divertido ver cómo hacer una prueba de límites [matemática] \ epsilon \ delta [/ matemática] no es más que un poco de aproximaciones aritmáticas y bien elegidas, solía ser muy difícil cuando lo estudié por primera vez (ahora digo esto , No me sorprenderá haber cometido un error en alguna parte …).

Answer 4

Tu enfoque inicial es incorrecto.

Debe garantizar que por cada [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] exista una [matemática] \ delta> 0 [/ matemática] para que [matemática] \ vert \ frac {2x} {x ^ 2 + 1 } -1 \ vert <\ epsilon [/ math] siempre que [math] \ vert x-1 \ vert <\ delta [/ math].

Dado [math] \ epsilon [/ math], ¿cómo necesita elegir [math] \ delta [/ math]?

Puedes continuar desde allí.