Esta respuesta es una generalización de la respuesta de Alon Amit a ¿Qué son dos listas de enteros que tienen la misma suma, la misma suma de cuadrados y la misma suma de cubos?
Considere una caja n-dimensional (por lo tanto, un cuadrado con 4 esquinas cuando n = 2, un cubo con 8 esquinas cuando n = 3, un hipercubo con 16 esquinas cuando n = 4, etc.). Asigne cualquier valor que desee a cada una de sus 2n muchas caras (con lo que quiero decir, sus subcajas de una dimensión inferior), y luego asigne a cada una de sus 2 ^ n muchas esquinas las sumas de los valores en las n muchas correspondientes caras.
Además, etiquete las esquinas en blanco y negro alternativamente, en forma típica de tablero de ajedrez (es decir, de tal manera que las esquinas adyacentes tengan diferentes colores).
Entonces la suma de k-ésima potencia será la misma en las esquinas negras que en las esquinas blancas, para cada k <n. (En particular, para resolver el problema deseado que trata con potencias hasta 3, use una caja de 4 dimensiones)
- Cómo probar con la definición del delta del épsilon que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to1} \ frac {2x} {x ^ 2 + 1} = 1 [/ matemáticas]
- ¿Cuál es el valor mínimo y máximo de esta expresión [matemáticas] \ sin ^ 2x – \ sin x – 2 [/ matemáticas]?
- ¿Qué es [math] \ int \ tan ^ {- 1} (x!) Dx [/ math]?
- Si [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 = 2 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor máximo de [matemáticas] a + b [/ matemáticas]?
- Si integral [matemática] \ displaystyle \ int_ {x} ^ {\ log 2} \ dfrac {1} {e ^ x – 1} \, dx = \ dfrac {\ pi} {6} [/ matemática] entonces encuentre [ matemáticas] x [/ matemáticas].
(La respuesta de Alon usando la secuencia Thue-Morse es el caso especial de esto donde todas las caras que tocan una esquina se asignan a 0 y las caras que tocan la esquina opuesta se les asignan las primeras n potencias de 2).
Una cosa sorprendente sobre este resultado es que es válido incluso en contextos donde la multiplicación no es conmutativa (y, de hecho, incluso en contextos donde la resta no está bien definida); en jerga matemática, se cumple en cualquier semired.
De hecho, en un contexto no conmutativo completamente abstracto, podemos pensar en los valores de las caras como letras simples, la multiplicación como la concatenación de cadenas de letras (tenga en cuenta que esto no es conmutativo) y los valores en general como sumas de cadenas de letras (multiplicación extendido para actuar sobre estos distributivamente). Tendremos que la k-ésima potencia de una esquina es la suma de todas las cadenas de longitud k usando solo caras adyacentes a esa esquina. Cualquier cadena de este tipo en particular es aportada una vez por cada una de las esquinas en una sub-caja apropiada de nuestra caja; si la cadena usa j muchas caras distintas, esta subcuadra tendrá una dimensión n – j. Esta dimensión será al menos 1 si k <n (ya que j es como máximo k) y, por lo tanto, la casilla secundaria tendrá el mismo número de puntos en blanco y negro (2 ^ (n – j – 1) cada uno). Por lo tanto, cada cadena particular es aportada un número igual de veces por los puntos blancos y negros, estableciendo nuestro resultado en general.
Una generalización menor: por simplicidad, dije arriba para asignar a cada esquina simplemente la suma de las caras adyacentes a esa esquina, pero también se puede agregar a esto alguna constante adicional; los resultados anteriores se realizan esencialmente de la misma manera, con solo un pequeño aumento a la prueba).
Una gran generalización adicional: se puede llevar esta construcción aún más lejos para producir más de 2 listas que simultáneamente tienen las mismas sumas de poderes a través de cualquier poder. Simplemente reemplace las cajas (poderes cartesianos del gráfico completo en 2 vértices) por su equivalente b-ary (poderes cartesianos del gráfico completo en b muchos vértices); el resultado es b-colorable (¡potencialmente de muchas maneras diferentes!), las “caras” del resultado se pueden definir de manera directa, y la construcción anterior se extiende para mostrar que la suma de k-ésima potencia es la misma sobre cada uno de los colores b (cuando k <la dimensión n). Esto produce b muchas listas de longitud b ^ (n – 1), de modo que para cada k <n, todas estas listas tienen la misma suma de k-ésima potencia.
El caso especial de esto a lo largo de la línea de la construcción Prouhet-Thue-Morse es tomar los enteros de 0 a b ^ (n – 1) [es decir, aquellos con hasta n dígitos en la base b] y agruparlos en función de la mod b suma de sus dígitos de base b. Esto produce b muchos conjuntos de números naturales de tamaño b ^ (n – 1), de modo que para cada k <n, todos estos conjuntos tienen la misma suma de k-ésima potencia. También se puede elegir cualquier punto de partida en lugar de 0 (es decir, agregar a todos estos una constante) si se desea evitar los ceros.