Hay varias maneras de pensar en esto, una popular se llama “Stars and Bars” y tiene un atractivo visual agradable, así que lo usaré.
La clave para esto es que solo nos importa la cantidad de veces que se ha seleccionado un objeto, por lo que es posible imaginar modelar una elección colocando r estrellas en n contenedores. Por ejemplo, supongamos que tiene que elegir 3 bolas de helado de un total de 8 para ir a su cono. Por supuesto, se le permite repetir sabores y realmente no nos importa en qué orden están en el cono. Imaginamos crear las 8 categorías de sabores separándolos con 7 barras |. Esto parece
… | … | … | … | … | … | … | …
estos son nuestros [math] n = 8 [/ math] bins que representan los 8 sabores (los puntos son solo para separar las barras para que pueda verlos claramente) pero tenga en cuenta que solo estamos usando [math] n-1 = 7 [/ matemáticas] barras.
- Por la propiedad de la raíz cuadrada, si b es un número real y a ** 2 = b, entonces a será igual a ¿qué? ¿Es raíz cuadrada b o más o menos raíz cuadrada b
- ¿Cuál es la ecuación más fácil de usar para este problema de historia matemática?
- Cómo probar (sin computadora) la desigualdad: [matemáticas] \ sqrt [9] {502} + \ sqrt [502] 9> 3 [/ matemáticas]
- Dada la ecuación 2x ^ 2-20x + 14 = 0 ¿Cuál es el valor de x?
- ¿Cómo podemos probar [matemáticas] 2 ^ {350}> 5 ^ {150} [/ matemáticas]?
A continuación, podemos modelar una opción con reemplazo (es decir, con repetición permitida) llenando algunos de estos contenedores con [math] r = 3 [/ math] estrellas, por lo que podríamos tener
☆☆☆ | … | … | … | … | … | … | … (3 cucharadas de sabor 1)
o
… | ☆ | … | ☆ | … | ☆ | … | … (1 cucharada de cada uno de los sabores 2, 4 y 6)
Si eliminamos los puntos, estas selecciones se ven como
☆☆☆ | El | El | El | El | El | El | y | ☆ | El | ☆ | El | ☆ | El | que se parecen sospechosamente a dos posibles arreglos de 3 estrellas y 7 barras.
De hecho, ahora debería ser obvio que cada opción con el reemplazo de 3 cucharadas de 8 sabores está representada de manera única por una disposición de las 7 barras y 3 estrellas y que no hay opciones que no estén representadas (esto se llama biyección). Por lo tanto, podemos contar estos arreglos utilizando combinatoria básica para dar [math] \ binom {7 + 3} {3} [/ math] opciones con reemplazo para este ejemplo.
En general, habrá [math] r [/ math] estrellas y [math] n-1 [/ math] barras por lo tanto
[matemáticas] \ text {opciones de r objetos de n con reemplazo} = \ dbinom {n-1 + r} {r} \ qquad \ blacksquare [/ math]