Cómo probar (sin computadora) la desigualdad: [matemáticas] \ sqrt [9] {502} + \ sqrt [502] 9> 3 [/ matemáticas]

Answer 1

Primero observe que [matemáticas] 2 ^ 9 = 512 = 10 + 502 [/ matemáticas]

Usando la expansión de la serie Taylor:

[matemáticas] \ sqrt [9] {502} = 2- \ frac {10} {9 * 2 ^ 8} – \ frac {100 * 8} {2! * 81 * z ^ {17/9}} [/ matemáticas]

para algunos [matemática] z \ in (502,512) [/ matemática]

[matemáticas] \ sqrt [502] {9} = \ sqrt [251] {3} [/ matemáticas]

Serie de Taylor nuevamente, esta vez centrada en 1

[matemáticas] \ sqrt [251] {3} = 1 + \ frac {2} {251} + \ frac {4} {2! * 63001 * y ^ {501/251}} [/ matemáticas]

Para [matemáticas] y \ in (1,3) [/ matemáticas]

Agregándolos:

[matemáticas] \ sqrt [9] {502} + \ sqrt [251] {3} = 2 + 1- \ frac {10} {9 * 2 ^ 8} + \ frac {2} {251} – \ frac { 100 * 8} {2! * 81 * z ^ {17/9}} + \ frac {4} {2! * 63001 * y ^ {501/251}} [/ math]

Combina los términos con valores fijos. Es desordenado, pero los números son racionales, por lo que no necesitará una calculadora. También simplifique los términos con y y z.

[matemáticas] \ sqrt [9] {502} + \ sqrt [251] {3} = 3 + \ frac {1049} {289152} + \ frac {400} {81 * z ^ {17/9}} + \ frac {2} {63001 * y ^ {501/251}} [/ math]

[matemática] y \ in (1,3) [/ matemática] entonces [matemática] \ frac {2} {63001 * y ^ {501/251}}> \ frac {2} {63001 * 3 ^ {501/251 }}[/matemáticas]

Observe que [math] 3 ^ {501/251} [/ math] está ligeramente por debajo de [math] 3 ^ 2 [/ math], por lo que una comprobación rápida muestra que es mayor que 8.9, que escribiremos como [math] \ frac { 89} {100} [/ matemáticas]

De manera similar, [math] z \ in (502,512) [/ math] entonces [math] z ^ {17/9} <2 ^ {17} [/ math] ¿Por qué menos que esta vez? Porque el término es negativo y en el denominador y estamos buscando un límite inferior.

Ahora vemos que

[matemáticas] \ frac {2} {63001 * y ^ {501/251}} – \ frac {400} {81 * z ^ {17/9}}> \ frac {2} {63001 * 89/100} – \ frac {400} {81 * 2 ^ {17}} [/ matemáticas]

Algunos cálculos más tediosos muestran que es igual a

[matemáticas] – \ frac {7466825} {3720595120128} [/ matemáticas]

¡Finalmente!

Esto significa

[matemáticas] \ sqrt [9] {502} + \ sqrt [251] {3}> 3+ \ frac {1049} {289152} – \ frac {7466825} {3720595120128} [/ matemáticas]

Simplificando:

[matemáticas] \ sqrt [9] {502} + \ sqrt [251] {3}> 3+ \ frac {13490293111} {3720595120128}> 3 [/ matemáticas]

¡Lo hicimos!

Answer 2

Tienes dos términos con exponentes adjuntos. No importa qué exponente haga, será positivo, porque la función f (x) = n ^ x tiene un rango de (0, infinito). Según esa lógica, sabemos que su desigualdad es verdadera. Ni siquiera tiene que resolverlo, ¿no es elegante?

Answer 3

Este problema se resuelve mejor mediante una aproximación informada. Primero, date cuenta de que:

[matemáticas] a ^ b> 1 \ forall b \ in \ R ^ {+}, a \ in (1, \ infty) [/ math]

Tenga en cuenta que [matemática] a ^ b [/ matemática] puede tener más de un valor, y los otros valores pueden ser negativos o imaginarios. Pero en todos los casos habrá un valor de [math] a ^ b [/ math] para el cual esto es válido.

De lo anterior, llegamos a la conclusión de que [matemáticas] 9 ^ {\ frac {1} {502}}> 1 [/ matemáticas].

Ahora, necesitamos ver cuál es el valor de [math] 502 ^ {\ frac {1} {9}} [/ math]. Observe que [matemáticas] 2 ^ 9 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 512 [/ matemáticas]. Entonces, [math] 502 ^ {\ frac {1} {9}} [/ math] estará en algún lugar justo antes de [math] 2 [/ math]. Un cálculo significativamente más tedioso pero no imposible de deshacer usando el teorema binomial muestra que [matemáticas] (1.99) ^ 9 [/ matemáticas] es igual a aproximadamente [matemáticas] 490 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la brecha entre 2 y [matemáticas] 502 ^ {\ frac {1} {9}} [/ matemáticas] es muy, muy pequeña.

Por lo tanto, podemos decir que [matemáticas] 502 ^ {\ frac {1} {9}} + 9 ^ {\ frac {1} {502}} [/ matemáticas] estará muy, muy cerca de [matemáticas] 3 [ /matemáticas]. Sin una computadora, o recurriendo a cálculos absurdamente difíciles a mano, esto es realmente todo lo que podemos decir. Una corazonada me dice que será mayor que [matemáticas] 3 [/ matemáticas], pero no hay una buena manera de saberlo sin una calculadora.

[Con una calculadora encontramos que [matemática] 502 ^ {\ frac {1} {9}} + 9 ^ {\ frac {1} {502}} = 3.00000811043 [/ matemática], entonces la aproximación es correcta.]

¡Espero que esto te ayude!

Answer 4

9 ^ (1/502) y 502 ^ 1/9 son números positivos, por lo que la suma es positiva. Podría interpretar que 9 ^ (1/502) tiene una raíz positiva o negativa, pero la raíz número 500 de 9 es obviamente un número muy cercano a 1 y la raíz novena de 502 está cerca de 2, ya que 2 ^ 9 – 512 es positivo incluso si cuentas la raíz negativa

Answer 5

Muy muy dolorosamente con muchos cálculos manuales utilizando el enésimo algoritmo raíz.