¿Cómo podemos probar [matemáticas] 2 ^ {350}> 5 ^ {150} [/ matemáticas]?

Answer 1

Así es como lo hice. Sin faltar el respeto a otras respuestas, pero no todas están perfectamente motivadas; La respuesta a veces parece venir de la nada.

En primer lugar, preguntas como esta casi siempre se plantean de manera bastante “estricta” (esto es menos que muchas). Los dos lados deberían ser bastante similares, o el problema cede demasiado fácilmente a la fuerza bruta.

La evidente desigualdad apretada que involucra poderes de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas] es

[matemática] 2 ^ {10} [/ matemática] [matemática] = 1024 \ aprox 1000 = 10 ^ 3 = (2.5) ^ 3 [/ matemática]

Otros lo conocen como [matemáticas] 128 \ aproximadamente 125 [/ matemáticas], que obviamente es equivalente (y separa muy bien los poderes de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas]), pero demasiado tiempo gastar con computadoras me hace pensar en el poder de [matemáticas] 10 [/ matemáticas] primero.

Dado lo original para probar,

? [matemáticas] 2 ^ {350}> 5 ^ {150} [/ matemáticas]?

¿Cómo obtengo un poder de [matemáticas] 10 [/ matemáticas]? ¿Multiplico el lado izquierdo por [matemáticas] 5 ^ {350} [/ matemáticas], o el lado derecho por [matemáticas] 2 ^ {150} [/ matemáticas]? No es una sacudida, ¿verdad? Multiplica ambos lados por [matemáticas] 2 ^ {150} [/ matemáticas] y obtén

[matemáticas] 2 ^ {500}> 10 ^ {150} [/ matemáticas]

Solo ahora divido los exponentes entre [matemáticas] 50 [/ matemáticas]. Podría haberlo hecho antes, por supuesto. Todo esto tomó MUCHO menos tiempo del que te llevará leerlo, y mucho menos que yo lo escriba. ¡No esperes que piense en todo, y mucho menos en un orden muy hábil!

[matemáticas] 2 ^ {10}> 10 ^ {3} [/ matemáticas]

¿Luce familiar?

Corre hacia atrás para asegurarte de que no he hecho nada irreversible o hacia atrás.

Elevar a [matemática] 50 [/ matemática] potencia (valores positivos en ambos lados, la desigualdad no se desvanece ni revierte)

[matemáticas] 2 ^ {500}> 10 ^ {150} [/ matemáticas]

Dividir entre [matemática] 2 ^ {150} [/ matemática]: eso también es positivo, así que todavía no hay problema:

[matemáticas] 2 ^ {350}> 5 ^ {150} [/ matemáticas] según sea necesario.

Answer 2

¿Cómo podemos probar [matemáticas] 2 ^ {350}> 5 ^ {150} [/ matemáticas] ?

[matemáticas] 2 ^ {350} = (2 ^ 7) ^ {50} = 128 ^ {50}> 125 ^ {50} = (5 ^ 3) ^ {50} = 5 ^ {150} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

Suponga que [matemáticas] 2 ^ {350} \ le 5 ^ {150}. [/ Matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad \ log {2 ^ {350}} \ le \ log {5 ^ {150}}. [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad 350 \ log 2 \ le 150 \ log 5. [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad \ frac {350} {150} \ log 2 \ le \ log 5. [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad \ frac {7} {3} \ log 2 \ le \ log 5. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad \ log 2 ^ {\ frac {7} {3}} \ le \ log 5. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad 2 ^ {\ frac {7} {3}} \ le 5. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad (2 ^ 7) ^ \ frac {1} {3} \ le 5. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad 128 ^ \ frac {1} {3} \ le 5. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad 128 \ le 5 ^ 3. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad 128 \ le 125, \ qquad [/ math] que es absurdo.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Nuestra suposición de que [math] 2 ^ {350} \ le 5 ^ {150} [/ math] no es cierta.

[math] \ Rightarrow \ qquad 2 ^ {350}> 5 ^ {150}. [/ math]

Answer 4

Antes de escribir mi respuesta, sugiero echar un vistazo a mi nombre.

2 pruebas. 1 ecuación ¡Injusto!

Oye, oye, no queremos contradicciones, ¿verdad?

Prueba 1:

Convertir a potencias de 50

Por las leyes de los exponentes,

[matemáticas] a ^ {b ^ c} = a ^ {(b * c)} [/ matemáticas]

Entonces, convirtiendo,

[matemáticas] 2 ^ {350} = 2 ^ {7 ^ {50}} = 128 ^ {50} [/ matemáticas]

Y,

[matemáticas] 5 ^ {150} = 5 ^ {3 ^ {50}} = 125 ^ {50} [/ matemáticas]

Entonces, cuando 128> 125

Te dejo el resto a ti. Y como se menciona en una de otras respuestas,

Prueba 2:

Pitón

Escribió este código:

a = 2 ** 350
b = 5 ** 150
imprimir (a> b)

Obtuve esta salida:

>>> Verdadero

Supongo que lo tienes 🙂

Answer 5

Tomar el logaritmo conserva el orden de los números positivos. Entonces solo tenemos que demostrar que

[matemáticas] \ log (2 ^ {350})> \ log (5 ^ {150}) [/ matemáticas]

Usando la propiedad de logaritmos: [math] log (a ^ b) = b log a [/ math]:

[matemáticas] 350 \ ln (2)> 150 \ ln (5) [/ matemáticas]

Calcule los registros. (Me gusta usar el registro natural, pero puedes usar el que quieras)

[matemáticas] 350 \ cdot 0.69314> 150 \ cdot 1.60944 [/ matemáticas]

[matemáticas] 242.599> 241.416 [/ matemáticas]

Parece correcto

Answer 6

Hay diferentes formas de resolver esta pregunta, depende del enunciado de la pregunta, pero si no tiene un enunciado, entonces la forma más fácil de usar su calculadora.

1. solo calcula la potencia usando tu calculadora, así

>>> 2 ** 350

>> 5 ** 150

>>> 2 ** 350> 5 ** 150

Segundo método es

2 ^ 350 = (2 ^ 7) ^ 50

5 ^ 150 = (5 ^ 3) ^ 50

128 ** 50> 125 ** 50

También puedes probarlo usando log, etc.

Answer 7

En aras de la comparación, asignamos [matemáticas] x = 2 ^ {350} [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 5 ^ {150} [/ matemáticas]

[matemáticas] log (x) = log (2 ^ {350}) = 350 * log (2) = 350 * 0.30103 = 105.3605 [/ math]

[matemáticas] log (y) = log (5 ^ {150}) = 150 * log (5) = 150 * 0.69897 = 104.8455 [/ math]

Como, [matemáticas] log (x)> log (y) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] x> y [/ matemáticas]

Es decir, [matemáticas] 2 ^ {350}> 5 ^ {150} [/ matemáticas]

Answer 8

¡Como una broma!

Python 3.5.1 (v3.5.1: 37a07cee5969, 6 de diciembre de 2015, 01:38:48) [MSC v.1900 32 bit (Intel)] en win32

Escriba “ayuda”, “derechos de autor”, “créditos” o “licencia” para obtener más información.

>>> 2 ** 350

2293498615990071511610820895302086940796564989168281123737588839386922876088484808070018553110125686554624

>>> 5 ** 150

700649232162408535461864791644958065640130970938257885878534141944895541342930300743319094181060791015625

>>> 2 ** 350> 5 ** 150

Cierto

>>>

Answer 9

Tome las raíces 50 y compare 2 ^ 7 con 5 ^ 3

Answer 10

Notamos que 350 y 150 son múltiplos de 50.

2 ^ 350 = (2 ^ 7) ^ 50

5 ^ 150 = (5 ^ 3) ^ 50

Como [matemáticas] 2 ^ 7 = 128 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 ^ 3 = 125 [/ matemáticas], tenemos nuestro resultado

Answer 11

Probar 2 ^ 350> 5 ^ 150

log 2 = 0,301

log 5 = 0,698

350 * log 2 = log 2 ^ 350 = 0.301 * 350 = 105.36

150 * log 5 = log 5 ^ 150 = 150 * 0.698 = 104.84

log 2 ^ 350> log 5 ^ 150

Tomando registro inverso en ambos lados

2 ^ 350> 5 ^ 150

Espero eso ayude. ¡¡Gracias!!

Answer 12

Soy MUY aficionado a las matemáticas, pero creo que uno puede usar las reglas de los exponentes para demostrar muy fácilmente que la afirmación es falsa.

Multiplique 2 por 2.5 para obtener 5, y luego divida el exponente (350) por 2.5 y obtenga 140. Esto muestra que 2 a 350 equivale a 5 a 140, lo que obviamente es menos de 5 a 150. Si me equivoco al respecto, agradeceré que me corrijan.

Jim Shea

Answer 13

[matemáticas] \ begin {align} 2 ^ {350} \ quad & \ overset {?} {>} \ quad5 ^ {150} \\ (2 ^ 7) ^ {50} \ quad & \ overset {?} { >} \ quad (5 ^ 3) ^ {50} \\ 2 ^ 7 \ quad & \ overset {?} {>} \ quad5 ^ 3 \\ 2 \ times 4 ^ 3 \ quad & \ overset {?} { >} \ quad5 ^ 3 \\ 2 \ quad & \ overset {?} {>} \ quad \ left (\ frac {5} {4} \ right) ^ 3 \\ 2 \ quad & \ overset {?} { >} \ quad \ left (1 + \ frac {1} {4} \ right) ^ 3 \\ 2 \ quad & \ overset {?} {>} \ quad 1 .. \ quad \ quad \ text {Halfway} \, \\ & \ quad \ quad \ quad .. + \ frac {3} {4} .. \ quad \ quad \ text {casi allí} \, \\ & \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad. . + \ frac {3} {16} .. \ quad \ quad \ text {* drum roll *} \, \\ & \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad .. + \ frac {1 } {64}. \ quad \ quad \ text {Bummer.} \, \ end {align} [/ math]

Entonces, la afirmación es cierta porque nos faltan [matemáticas] \ frac {3} {64} [/ matemáticas] en el lado derecho.

Answer 14

Prueba 1:

[matemáticas] 128> 125 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Flecha derecha (128) ^ {50}> (125) ^ {50} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow (2 ^ {7}) ^ {50}> (5 ^ {3}) ^ {50} [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow 2 ^ {7 \ veces 50}> 5 ^ {3 \ veces 50} [/ matemática]

[math] \ Rightarrow 2 ^ {350}> 5 ^ {150}. [/ math]

Prueba 2:

[matemáticas] 128> 125 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow 2 ^ {7}> 5 ^ {3} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow (2 ^ {7}) ^ {50}> (5 ^ {3}) ^ {50} [/ matemática]

[math] \ Rightarrow 2 ^ {7 \ times 50}> 5 ^ {3 \ times 50} [/ math]

[math] \ Rightarrow 2 ^ {350}> 5 ^ {150}. [/ math]

Answer 15

reducir la escala

Básicamente, quieres probar que (2 ^ 7) ^ 50> (5 ^ 3) ^ 50.

Entonces 128 ^ 50> 125 ^ 50.

¡Y es! 🙂

Answer 16

(2 ^ 7) ^ 50> (5 ^ 3) ^ 50

2 ^ 7> 5 ^ 3

128> 125