Mi respuesta es un sí calificado pero para fines prácticos NO. La RESPUESTA REAL es NO. Te lo explicaré. Esto se parece un poco a la propiedad transitiva de la igualdad {combinada con la propiedad simétrica}. La propiedad transitiva es Si a = byb = c, entonces a = c. Ahora la propiedad simétrica es simplemente si b = c entonces c = b. Ahora deje a = x² + 4x + 5, deje b = 0, y deje c = x² + x + 1. Ahora tenemos si a = byc = b, entonces a = c. También podríamos afirmar que esto es cierto usando el PRINCIPIO de sustitución, que es, en esencia, LA EXPRESIÓN LATERAL DERECHA DE UNA ECUACIÓN VERDADERA puede reemplazar {sustituir por} la EXPRESIÓN LATERAL IZQUIERDA DE UNA ECUACIÓN VERDADERA, en otra expresión sin alterar el valor de esa expresión. Podemos revertir a izquierda y derecha por la propiedad simétrica también. Sin embargo, la validez depende de las ECUACIONES a = b y c = b AMBAS QUE SON VERDADERAS ECUACIONES. Ahora tenemos que considerar nuestra variable x. a = b solo es cierto si x es igual a una de las raíces {soluciones} de x² + 4x + 5 = 0. Si el dominio de x es el conjunto de números reales, no hay soluciones. Sin embargo, si el dominio de x son los números complejos, hay DOS soluciones, x = 2 + i y x = 2-i donde denoto √ (-1). Sin embargo, para c = b tenemos x² + x + 1 = 0 y las soluciones para esa ecuación son x = – (1/2) + (√3 / 2) i y x = – (1/2) – (√3 / 2) i que resulta ser (-1) ^ (1/3) y (-1) ^ (2/3) respectivamente. Sin embargo, tenga en cuenta que ninguna de estas ecuaciones tiene raíces COMUNES. Por lo tanto, NO HAY VALOR para la variable x que hace que AMBAS ecuaciones sean verdaderas. Como a = b y b = c es una condición “y”, ambos deben satisfacerse para satisfacer la condición y y darnos la conclusión a = c de la propiedad transitiva de la igualdad. Comencé diciendo que es un SÍ calificado porque si eso y la condición se cumplieran, podríamos llegar a la conclusión. Por ejemplo, si 6 + 5 = 11 y 10–1 = 11, entonces 6 + 5 = 10–1. Esta es una declaración verdadera por la propiedad transitiva de la igualdad. Sin embargo, dado que 10–1 no es igual a 11, la ecuación final no es verdadera. LA FALTA DE RAÍCES COMUNES impulsa la invalidez y hace la respuesta real NO.
Si [matemática] x ^ 2 + 4x + 5 = 0 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ matemática], ¿sería matemáticamente válido decir [matemática] x ^ 2 + 4x + 5 = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]?
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Es válido e inválido al mismo tiempo.
Para entender esto, debemos considerar dos ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas son en realidad intersección de una curva con el eje x.
Supongamos que x ^ 2-5x = 0
Resolvemos esta ecuación para encontrar los puntos en los que se encuentran las curvas y = x ^ 2-5x e y = 0 (eje x).
Ahora, x ^ 2 + 4x + 5 = x ^ 2 + x + 1,
Al resolver esto, obtendremos los puntos donde se encuentran las curvas y = x ^ 2 + 4x + 5 e y = x ^ 2 + x + 1.
Es bastante obvio que resolver el primero le da valores diferentes que la última ecuación.
Ambas ecuaciones tienen diferentes objetivos primitivos.
Aquí hay otro ejemplo trazado en un gráfico.
Aquí hay dos curvas y el gráfico muestra cinco puntos.
Cuatro puntos representan puntos si la intersección de las curvas con el eje x, mientras que el quinto punto muestra el punto de intersección del eje.
Espero que esto aclare el concepto.
Tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 2 + 4x + 5 = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas] es una ecuación completamente diferente. Cualquier solución común para [matemática] x ^ 2 + 4x + 5 = 0 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + x + 1 = 0 [/ matemática] (en caso de que exista una solución común) también es una solución para [matemáticas] x ^ 2 + 4x + 5 = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]. Pero también se satisface con soluciones comunes, si existen para [matemáticas] x ^ 2 + 4x + 5 = a [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2 + x + 1 = a [/ matemáticas], donde [ math] a [/ math] puede ser cualquier número, real o complejo.
De hecho, al simplificar la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 4x + 5 = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] x = – \ dfrac {4} {3} [/ matemáticas]. Para todos los valores posibles de [matemática] a [/ matemática], esta es la única raíz común de las dos ecuaciones [matemática] x ^ 2 + 4x + 5 – a = 0 [/ matemática] y [matemática] x ^ 2 + x + 1 -a = 0 [/ matemáticas]. Tratemos de encontrar la interpretación de esto.
Sea f (x) = [matemática] x ^ 2 + 4x + 5 [/ matemática] y [matemática] g (x) = x ^ 2 + x + 1 [/ matemática]. Sus gráficos se muestran a continuación:
Fuente de la imagen: graph.tk
Como verá, se cruzan en un solo punto (que ya hemos evaluado), [matemáticas] \ left (- \ dfrac {4} {3}, \ dfrac {13} {9} \ right) [/ math ] Considere la gráfica de la función [matemáticas] f_1 (x) = x ^ 2 + 4x + 5 – a [/ matemáticas]. Este es el gráfico de [matemática] f (x) [/ matemática] desplazada [matemática] a [/ matemática] unidades hacia abajo (o [matemática] -a [/ matemática] unidades hacia arriba si [matemática] a <0 [/ matemática ]). Del mismo modo para [matemáticas] g_1 (x) = x ^ 2 + x + 1 - a [/ matemáticas]. Para que las gráficas de [math] f_1 (x) [/ math] y [math] g_1 (x) [/ math] tengan una raíz común, las gráficas de [math] f (x) [/ math] y [math ] g (x) [/ math] debe desplazarse hacia abajo de tal manera que su punto de intersección se encuentre en el eje [math] X [/ math]. Por lo tanto, incluso sin hacer el cálculo, podemos decir que [matemática] f_1 (x) [/ matemática] y [matemática] g_1 (x) [/ matemática] tienen una raíz común [matemática] \ iff a = \ dfrac {13} {9} [/ matemáticas].
Si [matemática] x² + 4x + 5 = 0 [/ matemática] y [matemática] x² + x + 1 = 0 [/ matemática] , ¿sería matemáticamente válido decir [matemática] x² + 4x + 5 = x² + x +1 [/ matemáticas] ?
La igualdad es simétrica y transitiva, por lo que para cualquier [matemática] A, B, C [/ matemática]:
[matemática] \ quad A = C [/ matemática] y [matemática] B = C [/ matemática] implica [matemática] A = B [/ matemática]
Los objetos pueden ser tan complicados como quieras, pero no dejes que esas expresiones cuadráticas te confundan. Tu pregunta es la misma que:
Si [matemática] x = 3 [/ matemática] y [matemática] x = 4 [/ matemática], ¿sería matemáticamente válido decir [matemática] 3 = 4 [/ matemática]?
Claro, es matemáticamente válido, pero es una ilustración de basura adentro, basura afuera. Las premisas inconsistentes pueden llevar a cualquier conclusión que le guste, y muchas que probablemente no le gusten 🙂
Sí, por supuesto, PERO las soluciones de la ecuación resultante no tienen que ser soluciones a las individuales.
Después de todo, x = x es cierto para todas las soluciones de ecuaciones polinómicas, ¡pero sus soluciones no son soluciones de NINGUNA ecuación polinómica!
Sí, por supuesto, es válido. Si [math] x [/ math] satisface las dos primeras ecuaciones, también satisface esta.
Si es útil depende de lo que hagas con tu nueva ecuación. Puede simplificarlo a [matemática] 3x + 4 = 0 [/ matemática], luego concluir que si hay una solución común a las dos ecuaciones originales, entonces la única posible es [matemática] x = – \ frac43 [/ matemática ] Pero eso no muestra que [math] x = – \ frac43 [/ math] es una solución común. De hecho, puede ver que no es una solución para ninguno de los dos. Por lo tanto, puede concluir que no hay soluciones comunes.
Hay otras formas de determinar las soluciones comunes de dos ecuaciones cuadráticas. Podrías resolver cada uno de ellos y buscar soluciones comunes.
Debes tener un objetivo antes de escribir esa ecuación. Es observable que las dos ecuaciones anteriores son iguales a cero. Y cuando simplemente omite la restricción de que ambas expresiones deben ser cero, está formando otra ecuación que expresa las coordenadas x de los puntos de intersección de dos parábolas que descartan x es igual a 0 o no.
Tenga en cuenta que siempre es válido escribir expresiones sin importar si es definitivamente correcto o incorrecto. Pero solo tiene sentido cuando tienes el objetivo de resolver un problema en particular al exponer la expresión.
Digamos que estamos resolviendo las ecuaciones simultáneas [matemáticas] y = x ^ 2 + 4x + 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]. Entonces podemos establecer los valores [math] y [/ math] iguales entre sí. Y luego podemos decir, sí, es válido.
Si está resolviendo una ecuación cuadrática regular, entonces no. No puede decir que son iguales, ya que los ceros de una ecuación cuadrática dan un polinomio cuadrático único, y en esta pregunta un polinomio no es un múltiplo escalar del otro, por lo que deben tener raíces diferentes.
Sería matemáticamente solo para 1 número, y esa es la respuesta a la ecuación. Como X es una variable, toma cualquier valor numérico, pero solo uno es la respuesta.
Sí, no es válido porque las ecuaciones se vuelven cero para diferentes valores de x. Esto será válido si se convirtieron en cero para la misma x, lo cual no es cierto para un conjunto dado de ecuaciones.
Ninguna de las ecuaciones individuales da soluciones reales. Puede ver esto graficando cada uno y observando que ninguno cruza el eje x. También puede verificar lo mismo algebraicamente calculando el valor del discriminante. Es menor que cero en cada caso, por lo que ninguna de las ecuaciones tiene una solución real (sí tienen soluciones complejas). La tercera ecuación pregunta qué valor de x hace que la ecuación sea verdadera. Esto se puede resolver algebraicamente o encontrar el punto donde se cruzan las 2 curvas que está en el punto
x = – 4/3 y = 13/9.
Entonces, si bien es válido formular y resolver la tercera ecuación, no debe formularse a partir de las dos primeras, sino más bien a partir de las fórmulas más generales
y = x ^ 2 + 4x + 5 e y = x ^ 2 + x + 1
Sí, vea la propiedad transitiva de igualdad