Encuentre el valor de a y b de modo que f (x) = [matemática] 8x ^ 4 + 14x ^ 3 -2x ^ 2 + ax + b [/ matemática] sea exactamente divisible por g (x) = [matemática] 4x ^ 2 + 3x – 2 [/ matemáticas]. ¿Alguien podría aclarar la confusión descrita en los detalles de la pregunta?

Estoy sumamente encantado de responder a su pregunta, ya que muestra una observación muy aguda .
lo que solicitó, es un tema totalmente válido que el resto en este caso es: –

r (x) = (a + 7) x + b-2

dado que se da que f (x) se divide exactamente por g (x), entonces r (x) debe ser cero

entonces, (a + 7) x + b-2 = 0

ahora, escuche atentamente, la “x” es una variable y la r (x) es una identidad, es decir, debe ser verdadera para todas las x, por lo que el coeficiente de las variables correspondientes de LHS y RHS debe ser igual, por eso decimos : –
(a + 7) x + b-2 = 0x + 0

entonces a + 7 = 0 y b-2 = 0

entonces a debe ser -7 yb debe ser 2.

pero si procedemos a través de su confusión y escribimos (a + 7) x = -b + 2, obtendremos una contradicción. veamos qué es:

ayb son coeficientes del polinomio f (x), entonces a y be deben ser constantes.
por lo tanto, (a + 7) y (-b + 2) también serán constantes. También sabemos que x es una variable.

entonces, en el LHS, tenemos constante multiplicada por una variable, mientras que en el RHS, tenemos un costante, por lo que si procedemos de esta manera, obtendremos un solo valor de x, que contradirá el hecho de que “x” es una variable en lugar de una constante.

entonces, equiparamos los coeficientes de todas las variables correspondientes de lhs y rhs.

8x ^ 4 + 14x ^ 3–2x ^ 2 + hacha + b

= 2x ^ 2 (4x ^ 2 + 3x-2) + 8x ^ 3 + 2x ^ 2 + hacha + b

= 2x ^ 2 (4x ^ 2 + 3x-2) + 2x (4x ^ 2 + 3x-2) -4x ^ 2 + 4x + ax + b

= 2x ^ 2 (4x ^ 2 + 3x-2) + 2x (4x ^ 2 + 3x-2) – [4x ^ 2- (4 + a) xb]

f (x) es exactamente divisible por g (x), por lo tanto

g (x) = 4x ^ 2- (4 + a) xb

4x ^ 2 + 3x-2 = 4x ^ 2- (4 + a) xb

o 3x-2 = – (4 + a) xb, igualando ambos lados

coeff. de x y término constante.

3 = – (4 + a)

3 = -4-a

a = -4–3

a = -7, respuesta

-2 = -b

b = 2, respuesta

El teorema fundamental de la división en álgebra y en aritmética es

Dividendo = Cociente x Divisor + Resto

En el problema actual, f (x) es el dividendo yg (x) es el divisor. Si f (x) debe ser exactamente divisible por g (x), entonces el

El resto de tal división debería = 0

Realizando una división real de f (x) por g (x), obtenemos

Cociente = 2x² + 2x – 1

Resto = hacha + 7x + b -2

Configurando el resto = 0 para hacer f (x) exactamente divisible por g (x), escribimos

hacha + 7x + b -2 = 0

O, x (a + 7) = 2-b

O, x = (2-b) / (a ​​+ 7)

Por lo tanto, para hacer f (x) exactamente divisible por g (x), x, a y b deben satisfacer la relación

x = (2-b) / (a ​​+ 7)

La confusión en la pregunta surge del hecho de que los datos son insuficientes para encontrar valores de a y b, lo que hará que la f (x) dada sea divisible por g (x) y, sin embargo, se nos pide que encontremos valores para a y b.

Simplemente divídalo y equipare el resto del término a cero

(a + 7) x + b-2 = 0

Entonces a = -7

b = 2

a = -7, b = 2

a = -7

b = 2

Cociente = 2 (x ^ 2) + 2x + 1