¿Qué valores reales de [math] x [/ math] no pertenecen al dominio de la función de valor real [math] \ sqrt {\ dfrac {x ^ 2-4} {x ^ 2-1}} [/ math ]?

Answer 1

La función toma valores reales siempre que [math] \ dfrac {x ^ 2 – 4} {x ^ 2 – 1} \ geq 0 [/ math]

Claramente [math] \ dfrac {x ^ 2 – 4} {x ^ 2 – 1} [/ math] no tiene significado cuando [math] x = 1 [/ math] o [math] -1 [/ math]

Cuando [math] x \ neq 1 [/ math] o [math] -1 [/ math],

el argumento es no negativo si

[matemáticas] \ dfrac {(x – 2) (x + 2)} {(x – 1) (x + 1)} \ geq 0 [/ matemáticas]

o [matemáticas] \ dfrac {(x – 2) (x + 2)} {(x – 1) (x + 1)} (x – 1) ^ 2 (x + 1) ^ 2 \ geq 0 \ veces ( x – 1) ^ 2 \ veces (x + 1) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Esta operación es válida ya que para cada número real [matemática] x [/ matemática], el número [matemática] (x – 1) ^ 2 (x + 1) ^ 2 [/ matemática] no es negativo (tenemos los axiomas de orden para reales que implican que la multiplicación por reales positivos en ambos lados preserva la desigualdad).

Es decir, si

[matemáticas] (x – 2) (x + 2) (x – 1) (x + 1) \ geq 0 [/ matemáticas]

Podemos escribir [math] \ dfrac {x – 1} {x – 1} = \ dfrac {x + 1} {x + 1} = 1 [/ math] ya que estamos considerando el caso cuando [math] x \ neq 1 [/ matemática] o [matemática] -1 [/ matemática].

Para [matemática] x \ leq -2 [/ matemática], cada uno de los cuatro términos [matemática] (x – 2), (x + 2), (x – 1) [/ matemática] y [matemática] (x + 1) [/ math] no es positivo y, por lo tanto, su producto no es negativo. Del mismo modo, para [math] x \ in (-2, -1) [/ math], exactamente un término, [math] (x + 2) [/ math] es positivo mientras que los otros son negativos, por lo que tenemos nuestro producto ser negativo Procediendo de esta manera, el dominio para nuestra función sale como

[matemáticas] (- \ infty, -2] \ cup (-1, 1) \ cup [2, + \ infty) [/ math]

Los números reales que no pertenecen al dominio forman el conjunto

[matemáticas] (- 2, -1] \ taza [1, 2) [/ matemáticas]

Answer 2

Los valores permitidos de [math] x [/ math] son ​​aquellos para los cuales el argumento de la función de raíz cuadrada es [math] \ geq 0 [/ math], excluyendo cualquier valor que haga que el denominador [math] = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, debemos excluir [matemáticas] x = \ pm 1, [/ matemáticas] y luego requerir [matemáticas] \ frac {x ^ 2–4} {x ^ 2–1} = \ frac {(x-2) (x + 2)} {(x-1) (x + 1)} \ geq 0. [/ math] Una forma estándar de hacerlo es marcar en una recta numérica real los valores que hacen que el numerador o el denominador sean cero, que son [matemáticas] x = -2, -1, 1, 2 [/ matemáticas], definiendo cinco intervalos abiertos [matemáticas] (- \ infty, -2), (-2, -1), (-1, 1) , (1, 2), (2, \ infty) [/ math], y probar esta desigualdad en un punto arbitrario en cada intervalo. Encontrará que se satisface solo en los intervalos [math] (- \ infty, -2), (- 1, 1), (2, \ infty). [/ Math] Al probar los puntos finales del intervalo, verá que [math] x = \ pm 2 [/ math] se puede incluir (ya que satisfacen la parte de igualdad de la desigualdad), por lo que el conjunto de soluciones es la unión de intervalos [math] (- \ infty, -2] \ cup ( -1, 1) \ cup [2, \ infty) [/ math], es decir, [math] x \ leq -2 [/ math] o [math] -1

En retrospectiva, veo que solicitó los valores prohibidos que constituyen el complemento del dominio en la línea real, la unión de los dos intervalos medio abiertos restantes (los valores [matemática] x = \ pm 1 [/ matemática] excluidos de el dominio ahora está restaurado):

([matemáticas] -2, -1] \ copa [1, 2) [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] -2

Cometí varios errores en mi primer intento, espero que esta edición los haya corregido. Ahora estoy de acuerdo con Jai Moondra y Ted Alper, cuyas respuestas he votado porque creo que son correctas en todos los aspectos.

Answer 3

La idea central es que la raíz cuadrada de un número no puede ser un número negativo. Eso está fuera del ámbito de los números reales. Es un paseo al reino de los números complejos. Además, una expresión fraccionaria con un denominador que es igual a cero no está definida. Como no está definido, no es útil. Por lo tanto, si evitamos ambas instancias, una raíz cuadrada negativa y un denominador indefinido, todo lo demás cae dentro del dominio de los números reales.

Answer 4

Hay dos restricciones:

• el denominador no puede ser 0, por supuesto, por lo que x = 1 yx = -1 están prohibidos.
• la fracción debe ser positiva o cero, por lo que el numerador y el denominador son AMBOS positivos o AMBOS negativos, o el numerador es 0 y el denominador podría ser cualquier cosa que no sea 0. el numerador es positivo cuando | x |> 2, el denominador es positivo cuando | x |> 1, entonces son AMBOS positivos cuando | x |> 2 y AMBOS negativos cuando | x | <1 - también el numerador es positivo cuando | x | = 2.

Poniendo esto en conjunto, | x |> = 2 está bien, | x | <1 está bien y nada más. En notación de intervalo que es [matemática] (- \ infty, -2] \ cup (-1,1) \ cup [2, \ infty). [/ Math]

Oh, usted solicitó los valores PROHIBIDOS, lo siento: eso sería [matemática] (- 2, -1] \ cup [1,2) [/ matemática]

Answer 5

Los valores prohibidos son para (x ^ 2–1) <0 y (x ^ 2–4) <0;

para (x ^ 2–4) <0;

x ^ 2 <4;

-2

Del mismo modo, desde (x ^ 2–1) <0, -1

-1

Por lo tanto, los valores prohibidos de x son -2

Answer 6

X no puede ser igual a 1 porque eso le dará un denominador de cero y cualquier cosa dividida por cero no está definida.

no puede sacar la raíz cuadrada del número negativo, por lo que el numerador siempre debe ser igual o mayor que cero. Esto da la condición de que x debe ser mayor o igual que 2 O x es menor o igual que -2. Esta es la respuesta final.

Answer 7

Para determinar qué valores de esta función no están en el dominio, tenga en cuenta que el cociente del que toma la raíz cuadrada no debe ser negativo y el denominador no debe ser igual a cero. Para este fin, tenga en cuenta que tenemos

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2-1 \ neq 0 \ Rightarrow x ^ 2 \ neq 1 \ Rightarrow x \ neq \ pm 1. [/ math]

Además, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 2-4} {x ^ 2-1} \ geq 0 \ Rightarrow x ^ 2-4 \ geq 0 \ Rightarrow x ^ 2 \ geq 4 \ Rightarrow x \ geq \ pm 2 . [/matemáticas]

Por lo tanto, los valores reales que no pertenecen a esta función son [matemática] x <\ pm 2. [/ Matemática]

Answer 8

Suponiendo que la raíz cuadrada está restringida a números reales, | x | > = 2 Y | x | ! = 1 para evitar la división por cero.