Cómo factorizar [matemáticas] (x ^ 3 + x ^ 2 + x +1) p ^ 2 – (3x ^ 2 + 2x + 1) yp + 2xy ^ 2 = 0 [/ matemáticas], donde [matemáticas] p = \ frac {dy} {dx} [/ math]

Answer 1

Si desea factorizar esto (en términos de [matemática] p [/ matemática]), puede usar la fórmula cuadrática con [matemática] A = x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = (x + 1) ( x ^ 2 + 1) [/ matemática], [matemática] B = – (3x ^ 2 + 2x + 1) y [/ matemática] y [matemática] C = 2xy ^ 2 [/ matemática]. Es útil notar (trabajo omitido) que [matemáticas] B ^ 2-4AC = y ^ 2 (x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2 x ^ 2-4x + 1) = y ^ 2 (x ^ 2 + 2 x-1) ^ 2 [/ math], entonces [math] \\\ qquad p = \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {-B \ pm \ sqrt {B ^ 2-4AC}} {2A} \\ \ qquad \ qquad \ qquad = \ dfrac {(3x ^ 2 + 2x + 1) y \ pm | y (x ^ 2 + 2x-1) |} {2 (x + 1) (x ^ 2 + 1 )}[/matemáticas]

El valor absoluto hace que esto sea un poco desordenado. Dejaré de publicar un análisis cuidadoso y simplemente lo ignoraré (al menos inicialmente), lo que deja dos posibles DE:

• [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y (3x ^ 2 + 2x + 1 + x ^ 2 + 2x-1)} {2 (x + 1) (x ^ 2 + 1)} = \ dfrac {2yx} {x ^ 2 + 1} [/ math]
• [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y (3x ^ 2 + 2x + 1-x ^ 2-2x + 1)} {2 (x + 1) (x ^ 2 + 1)} = \ dfrac {y} {x + 1} [/ matemáticas]

Ambos DE son separables. Las soluciones (trabajo omitido) son, respectivamente, [matemáticas] y = C (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = C (x + 1) [/ matemáticas].

---

Nota adicional: para abordar los valores absolutos de manera rigurosa, observamos que las soluciones más generales para el DE original pueden “cambiar” entre los dos tipos de soluciones indicadas anteriormente a lo largo de las líneas donde [matemáticas] y (x ^ 2 + 2x-1) [/ math] cambia de signo, es decir, las líneas [math] y = 0 [/ math], [math] x = -2.5 [/ math] y [math] x = 0.5 [/ math].

Por ejemplo, estas son algunas de las soluciones para [matemáticas] y ‘= \ dfrac {(3x ^ 2 + 2x + 1) y \ color {red} + | y ​​(x ^ 2 + 2x-1) |} {2 (x + 1) (x ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]:

Tenga en cuenta que las soluciones parecen líneas rectas en la región [matemáticas] \ {y> 0, -2.5 <x <0.5 \} [/ matemáticas] y también en [matemáticas] \ {y 0.5 \} [ / math] (y también en [math] \ {y <0, x <-2.5 \} [/ math], aunque esto no muestra ninguna de esas curvas). En otros lugares, las soluciones son parabólicas.

Del mismo modo, aquí hay algunas curvas de solución para [matemáticas] y ‘= \ dfrac {(3x ^ 2 + 2x + 1) y \ color {red} – | y (x ^ 2 + 2x-1) |} {2 (x +1) (x ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]:

(gráficos de: Campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales)

Answer 2

Bueno, podrías usar la ecuación cuadrática y esperar obtener una expresión que se parezca a algo solucionable.

[matemáticas] ap ^ 2 + bp + c = 0 [/ matemáticas]

Con

[matemáticas] a = x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = – (3 x ^ 2 + 2 x + 1) y [/ matemáticas]

[matemáticas] c = 2 xy ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces sabes:

[matemáticas] p = \ frac {- b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4 ac}} {2 a} [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 – 4 ac = (3 x ^ 2 + 2 x + 1) ^ 2 y ^ 2 – 4 (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) 2 xy ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = y ^ 2 (x (2 + x) -1) ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] -b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4 ac} = (3 x ^ 2 + 2 x + 1) y \ pm (x ^ 2 + 2 x – 1) y [/ matemáticas]

Lo que se simplifica a:

[matemáticas] + \ a (4 x ^ 2 + 4 x) y = 4 x (x + 1) y [/ matemáticas]

y

[matemáticas] – \ a (2 x ^ 2 + 2) y = 2 (x ^ 2 + 1) y [/ matemáticas]

El denominador es:

[matemáticas] 2 a = 2 (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) = 2 (1 + x) (1 + x ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces obtienes:

[matemáticas] p _ {+} = \ frac {2 xy} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] p _ {-} = \ frac {y} {x + 1} [/ matemáticas]

Ahora podemos completar lo que p es nuevamente, para obtener:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {2 xy (x)} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

Lo cual se resuelve con la función:

[matemáticas] y (x) = C_1 (1 + x ^ 2) [/ matemáticas]

La otra ecuación es:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {y} {x + 1} [/ matemáticas]

Con la solucion:

[matemáticas] y (x) = C_2 (1 + x) [/ matemáticas]