La función de identidad [matemáticas] i [/ matemáticas] juega claramente un papel vital en el grupo abeliano [matemáticas] \ mathscr A [/ matemáticas] de todas las funciones aritméticas [matemáticas] f [/ matemáticas] que satisfacen [matemáticas] f (1 ) \ ne 0 [/ matemáticas]. Hay otra función que también juega un papel crucial en este grupo: la función Mobius [math] \ mu [/ math], dada por
[matemáticas] \ mu (n) [/ matemáticas]
[matemática] = (-1) ^ r [/ matemática] si n tiene [matemática] r [/ matemática] divisores primos distintos (de modo que [matemática] \ mu (1) = 1 [/ matemática]),
[math] = 0 [/ math] de lo contrario (cuando [math] p ^ 2 \ mid n [/ math] para al menos un primo [math] p [/ math]).
La importancia de la función Mobius en este contexto radica en el hecho de que 1 [math] \ star \ mu = i [/ math], donde 1 es la función que es idénticamente [math] 1 [/ math], dada por 1 [ matemática] (n) = 1 [/ matemática] para cada [matemática] n \ in \ mathbb N [/ matemática]. En otras palabras,
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} \ mu (d) = i (n) [/ matemáticas].
Esto no es particularmente difícil de probar, y lo dejo como un ejercicio para el lector interesado.
Con las anotaciones grupales en mente, podemos escribir
1 [matemática] ^ {- 1} = \ mu [/ matemática] y [matemática] {\ mu} ^ {- 1} = [/ matemática] 1 .
Las funciones multiplicativas [matemáticas] f [/ matemáticas] son aquellas que satisfacen
[math] f (mn) = f (m) \ cdot f (n) [/ math] siempre que [math] m, n [/ math] son enteros positivos con [math] \ gcd (m, n) = 1 [ /matemáticas].
Por lo tanto, las funciones multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en potencias primarias. En otras palabras, conocer [matemáticas] f (p ^ e) [/ matemáticas] para cada primo [matemáticas] p [/ matemáticas] y cada [matemáticas] e \ in \ {1,2,3, \ ldots \} [ / math] es suficiente para (únicamente) definir [math] f [/ math] en [math] \ mathbb N [/ math].
Tenga en cuenta que a menos que una función multiplicativa [matemática] f [/ matemática] sea idénticamente [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] f (1) = 1 [/ matemática].
Resulta que la convolución de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa:
[math] f \ star g [/ math] es multiplicativo siempre que [math] f, g [/ math] sea multiplicativo.
De hecho, si dos de [math] f, g, f \ star g [/ math] son multiplicativas, también lo es el tercero.
Por lo tanto, la clase [math] \ mathscr M [/ math] de todas las funciones multiplicativas forma un subgrupo bajo [math] \ star [/ math] del grupo abeliano [math] \ mathscr A [/ math] de todas las funciones aritméticas que no desaparece en [matemáticas] 1 [/ matemáticas].
El hecho de que 1 y [math] \ mu [/ math] sean inversos entre sí conduce a la equivalencia de las dos ecuaciones
[matemáticas] F = 1 \ estrella f [/ matemáticas] y [matemáticas] f = \ mu \ estrella F [/ matemáticas]. … (2)
Esto se conoce como la fórmula de inversión de Mobius . Tenga en cuenta también que si [math] f [/ math] es multiplicativo, entonces también lo es [math] F [/ math], y viceversa. La función [matemática] F [/ matemática] es la función de “ suma de divisores ” para [matemática] f [/ matemática].
Ecuación de reposo. (2) como
[matemática] F (n) = \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} f (d) [/ math] si y solo si [math] f (n) = \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} \ mu (d) \ cdot F \ left (\ frac {n} {d} \ right) [/ math],
y aplicando el resultado a [matemáticas] F (n) = n ^ 2 [/ matemáticas] da
[matemáticas] f (n) = \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} \ mu (d) \ cdot \ left (\ frac {n} {d} \ right) ^ 2 = n ^ 2 \ displaystyle \ sum_ { d \ mid n} \ frac {\ mu (d)} {d ^ 2} [/ math]. … (3)
Como [math] F [/ math] es multiplicativo, también lo es [math] f [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] f (1) = 1 [/ matemáticas]. También es fácil evaluar [matemáticas] f [/ matemáticas] en potencias primarias:
[matemáticas] f (p ^ e) = p ^ {2e} \ displaystyle \ sum_ {d \ mid p ^ e} \ frac {\ mu (d)} {d ^ 2} = p ^ {2e} \ left ( 1 – \ frac {1} {p ^ 2} \ right) = p ^ {2e} – p ^ {2e-2} [/ math].
En particular, [matemática] f (p) = p ^ 2–1 [/ matemática] para primo [matemática] p [/ matemática].
Podemos hacer más Dado que la función [matemáticas] g (n) = \ frac {\ mu (n)} {n ^ 2} [/ matemáticas] es multiplicativa, también lo es la función [matemáticas] G (n) = \ displaystyle \ sum_ {d \ mid n} \ frac {\ mu (d)} {d ^ 2} [/ math]. Por lo tanto, es suficiente evaluar [matemáticas] G (p ^ e) [/ matemáticas] para los números primos [matemáticas] p [/ matemáticas] y los enteros positivos [matemáticas] e [/ matemáticas].
[matemáticas] G (p ^ e) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {d \ mid p ^ e} \ frac {\ mu (d)} {d ^ 2} = 1 – \ frac {1 } {p ^ {2e}}. [/matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] G (n) = \ displaystyle \ prod_ {p ^ e \ mid \ mid n} \ left (1 – \ frac {1} {p ^ {2e}} \ right) [/ math],
donde [math] e [/ math] denota el poder más alto de [math] p [/ math] que divide [math] n [/ math].
De la ec. (3) finalmente llegamos
[matemáticas] f (n) = n ^ 2 \ cdot G (n) = n ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] \ displaystyle \ prod_ {p ^ e \ mid \ mid n} \ left (1 – \ frac { 1} {p ^ {2e}} \ right). [/matemáticas]
El método descrito anteriormente para dar una fórmula para [math] f (n) [/ math] se puede utilizar para responder otras consultas similares en este foro, por ejemplo, ¿Cómo puedo encontrar [math] f (72) [/ math] dado que [math] \ sum_ {d | n} f (d) = 2n ^ 2 [/ math] para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math]?