Son funciones, no ecuaciones, las que pueden ser armónicas.
Las funciones armónicas son aquellas funciones [matemáticas] f [/ matemáticas] que tienen cero laplaciano:
[matemáticas] \ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ 2 f = 0 [/ matemáticas].
Aquí [math] f [/ math] es una función de valor real de una o más variables (típicamente, al menos dos), definida en alguna región del espacio, y que es al menos dos veces diferenciable para que la definición tenga sentido. El operador laplaciano es simplemente la suma de las segundas derivadas a lo largo de todos los ejes de coordenadas:
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[matemáticas] \ displaystyle \ Delta f = \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial y ^ 2} + \ ldots [/ math]
con tantos términos en la suma como la función tiene variables.
Las funciones armónicas son, por decirlo suavemente, muy útiles. Surgen en muchos lugares de la física, ya que el operador laplaciano es tan omnipresente. Funciones armónicas especiales llamadas armónicas esféricas, por ejemplo, describen las órbitas de los electrones en los modelos de mecánica cuántica del átomo.
El principal objeto de estudio en la teoría de funciones complejas, las funciones analíticas, puede considerarse como pares de funciones con valores reales de dos variables. Cada miembro de dicho par es una función armónica (y se dice que los dos miembros están conjugados entre sí). Por ejemplo, desde
[matemáticas] \ displaystyle \ exp (z) = e ^ x \ left (\ cos (y) + i \ sin (y) \ right) [/ math]
es una función analítica, la parte real
[matemáticas] \ displaystyle f (x, y) = e ^ x \ cos (y) [/ matemáticas]
es una función armónica de dos variables, y también lo es la parte imaginaria
[matemáticas] \ displaystyle g (x, y) = e ^ x \ sin (y) [/ matemáticas].
Del mismo modo, la función de logaritmo complejo se compone de dos funciones armónicas:
[matemáticas] \ displaystyle h (x, y) = \ log \ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle a (x, y) = \ arctan (\ frac {y} {x}) [/ math].