¿Por qué [math] (- 2) ^ {\ frac {2} {3}} [/ math] me da un error?

Answer 1

El algoritmo más utilizado en las calculadoras para calcular la exponenciación es mediante el uso de logaritmos y la función exponencial. Por lo tanto, la calculadora realmente calcula esto:

[matemáticas] y ^ x = \ exp (x \ ln y). [/ matemáticas]

En las calculadoras que tratan solo con números reales, este método falla cuando [math] y <0 [/ math], porque el logaritmo de un número negativo no es un número real.

De hecho, el único momento en que hay un resultado de valor real con una base negativa es cuando el exponente en sí es un número racional y tiene un denominador impar. Por lo tanto, [math] (- 2) ^ {5/3} [/ math] tiene un resultado de valor real, mientras que [math] (- 2) ^ {7/2} [/ math] no.

(¿Por qué digo que tiene un resultado de valor real? Debido a que la exponenciación compleja es de valor múltiple. La ecuación [matemática] x ^ {3/2} = – 2 [/ matemática] tiene tres raíces, solo una de las cuales es reales, los otros dos son complejos. Si el exponente es un número irracional, hay un número infinito de resultados, ninguno de los cuales tiene un valor real si la base es negativa).

Las cosas también dependen del orden en que una calculadora realiza el cálculo. Por ejemplo, si la calculadora calcula primero el exponente, puede calcular [matemática] 2/3 = 0.6666666667 [/ matemática], que es [matemática] \ dfrac {6666666667} {10000000000} [/ matemática] en forma de fracción; siendo el denominador par, esta exponenciación no produce un resultado de valor real. Entonces, para calcular el resultado real de [math] (- 2) ^ {2/3} [/ math], la calculadora debe ser lo suficientemente inteligente como para reconocer que el exponente es un número racional, su denominador es impar y luego voltee el signo de la base, haga la exponenciación de la manera habitual y voltee el signo del resultado.

Esto es algo que las calculadoras con capacidades integradas de álgebra computacional (CAS) pueden hacer, pero las calculadoras comunes no pueden hacer.

Las calculadoras que pueden hacer aritmética compleja pueden calcular un resultado, pero no es necesariamente el resultado real. Por ejemplo, cuando calculo [matemáticas] (- 2) ^ {2/3} [/ matemáticas] en mi HP-42S calculando primero [matemáticas] 2/3 [/ matemáticas] y luego elevando [matemáticas] -2 [ / math] a este poder, obtengo [math] -0.7937 + 1.3747i [/ math]. Este es un resultado válido, pero no el resultado que esperábamos.

Answer 2

Varias de las respuestas se acercan sigilosamente a las matemáticas de la pregunta, pero ninguna sale directamente y la dice.

Si quieres hacer matemáticas, necesitas definiciones para cada concepto que emplees.

Entonces, ¿qué significa [matemáticas] (- 2) ^ {\ frac 23} [/ matemáticas] en realidad? ¿Cómo se define? Parece que cree que se define como [matemáticas] ((- 2) ^ 2) ^ {\ frac 13} [/ matemáticas].

En otras palabras, parece pensar que si eleva un número real a una potencia racional, diga [math] y ^ {\ frac ab} [/ math], con [math] y \ in \ mathbb R [/ math] , y [math] a \ in \ mathbb Z [/ math], y [math] b \ in \ mathbb Z ^ + [/ math], entonces debe definirse como [math] \ sqrt [b] {y ^ a }[/matemáticas]. Esa definición produciría el resultado que espera para la pregunta que hace.

Pero esa definición no se aplica al problema general de [matemática] y ^ x [/ matemática] para [matemática] x \ in \ mathbb R [/ matemática] ya que la mayoría de los números reales no se pueden escribir como la razón de los enteros. Su definición funciona bien cuando es aplicable, pero no es lo suficientemente aplicable. Los matemáticos generalmente prefieren definir la exponenciación para que no se limite solo a exponentes racionales.

Entonces, en lugar de usar la definición anterior, definimos [math] y ^ x = \ exp \ left ({x \ ln y} \ right) [/ math] para [math] x \ in \ mathbb R [/ math], [matemáticas] y \ in \ mathbb R ^ + [/ matemáticas]. También tendemos a definir [matemáticas] 0 ^ x = 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] x \ in \ mathbb R, x \ ne 0 [/ matemáticas] y, a veces, [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas ] para ampliar la definición a no matemática [matemática] y [/ matemática] en lugar de [matemática] y \ in \ mathbb R ^ + [/ matemática].

Por supuesto, esta definición tiene un precio. ¿Lo ves? El precio es que la exponenciación solo se define para no negativo [matemática] y [/ matemática]. Entonces, ¿por qué ese problema no es tan grande como la definición que requería que [matemática] x [/ matemática] fuera racional? La razón es que la definición se puede extender de una manera muy natural para aplicarla a todos los [matemáticos] y [/ matemáticos] reales simplemente extendiendo el dominio y el rango para que sean el conjunto de números complejos.

Entonces tenemos dos definiciones para exponenciación. Uno hace que [math] y ^ x [/ math] sea una función real de dos entradas, [math] x \ in \ mathbb R [/ math] y [math] y \ ge 0 \ in \ mathbb R [/ math ] El otro hace que [math] y ^ x [/ math] sea de valor complejo (y potencialmente multivalor) pero se aplica a [math] x, [/ math] [math] y \ in \ mathbb C [/ math].

Pero la verdadera belleza es que las dos definiciones son idénticas. En ambos casos, escribimos [math] y ^ x = \ exp \ left ({x \ ln y} \ right) [/ math]. (Se necesita un poco de trabajo para explicar cómo se define [math] \ ln y [/ math] para [math] y [/ math] de valor complejo, pero se puede hacer de forma muy natural). Entonces, evitando su idea, que solo puede Para los exponentes racionales, llegamos a una definición que funciona para cualquier entrada (pero requiere el uso de números complejos).

Entonces, finalmente, podemos responder a su pregunta. La razón por la que [math] (- 2) ^ {\ frac 23} [/ math] le da un error es que la versión con valor real de la definición de exponenciación no se aplica ya que [math] y = -2 [/ math ] Y su calculadora parece estar programada para usar la definición de valor real. Si se programara para usar la definición de valor complejo, entonces habría tres respuestas:

Para cualquier [math] n \ in \ mathbb Z [/ math]:

[matemáticas] (- 2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left ({\ frac 23 \ ln (-2)} \ right) [/ math]

[matemáticas] (- 2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2e ^ {i (\ pi + 2 \ pi n)}) \ right) [/ math]

[matemáticas] (- 2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) + i \ frac 23 (\ pi + 2 \ pi n) \ right) [/ math]

[matemáticas] (- 2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) \ right) \ exp \ left (i \ frac 23 (\ pi + 2 \ pi n) \ right )[/matemáticas]

[matemáticas] (- 2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) \ right) \ left (\ cos \ left (\ frac 23 (\ pi + 2 \ pi n) \ right) + i \ sin \ left (\ frac 23 (\ pi + 2 \ pi n) \ right) \ right) [/ math]

Ahora vemos que [matemáticas] n = -1,0,1 [/ matemáticas] dan tres valores distintos, mientras que todos los demás enteros dan una de estas tres respuestas debido a la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas. Entonces hay tres resultados distintos:

---

[matemáticas] n = 0 \ implica (-2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) \ right) \ left (\ cos \ left (\ frac 23 (\ pi) \ right) + i \ sin \ left (\ frac 23 (\ pi) \ right) \ right) = [/ math]

[matemáticas] \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) \ right) \ left (- \ frac 12 + i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right) \ aprox -0.79370052598 + i \ cdot 1.374729637 [/ matemáticas]

---

[matemáticas] n = 1 \ implica (-2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) \ right) \ left (\ cos \ left (2 \ pi \ right) + i \ sin \ left (2 \ pi \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ exp \ izquierda (\ frac 23 \ ln (2) \ derecha) \ aprox 1.58740105197 [/ matemáticas]

(Observe que este resultado es igual a [matemática] \ sqrt [3] {(- 2) ^ 2} = \ sqrt [3] 4 [/ matemática]. Esta respuesta es probablemente lo que esperaba de su calculadora para comenzar .)

---

[matemáticas] n = -1 \ implica (-2) ^ {\ frac 23} = \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) \ right) \ left (\ cos \ left (- \ frac 23 (\ pi) \ right) + i \ sin \ left (- \ frac 23 (\ pi) \ right) \ right) [/ math]

[matemáticas] = – \ exp \ left (\ frac 23 \ ln (2) \ right) \ left (\ frac 12+ i \ frac {\ sqrt 3} 2 \ right) \ aprox -0.79370052598-i \ cdot 1.374729637 [ /matemáticas]

Answer 3

> ¿Por qué (-2) ^ (2/3) me da un error?
> ¿Debe ser 1.5874 … no?

Tienes razón, deberías haber obtenido 1.587401052 … (etc.). Cualquier calculadora debería ser capaz de dar la respuesta real más simple a cualquier problema, a pesar de que podría no darle respuestas complejas.

Aquí está la respuesta que obtuve en mi calculadora de Windows 10:

Y la siguiente es la respuesta que obtuve usando mi calculadora gráfica Texas Instruments TI-84 PLUS CE). Como puede ver, recibí un error al usar el 84. ¿Puede ver este error que cometí la segunda vez que intenté el cálculo?

El 84 tiene una característica tonta. No puede diferenciar entre resta y negación en función del contexto. Debemos usar explícitamente un botón diferente cuando queremos usar un número negativo que cuando queremos restar un número de otro.

Con este error en mente, puede probar lo que hizo automáticamente la Calculadora de Windows cuando escribí (-2). Insertó automáticamente un cero (vea la esquina superior derecha que muestra lo que calculó).

Intente escribir (0–2) ^ (2/3) y vea si eso funciona.

Si aún recibe un error, vea si puede cambiar su aplicación de calculadora al modo “científico”. Eso podría marcar la diferencia, pero lo dudo.

Y si te gusta usar tu imaginación , recuerda que hay tres respuestas diferentes para las raíces cúbicas de los números negativos, dos de ellas complejas o imaginarias , pero como preguntaste por qué tu calculadora te dio un error, supe que querías saber por qué No obtuve una respuesta real.

Computational Knowledge Engine (WolframAlpha. Com) da las tres respuestas:

Answer 4

[matemáticas] (- 2) ^ {2/3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {2/3} * (-1) ^ {2/3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 ^ {2/3} * e ^ {(2/3) i \ pi} [/ matemáticas]

Que está en el plano complejo, con una magnitud de [matemática] 2 ^ {2/3} [/ matemática], rota [matemática] 2/3 [/ matemática] radianes en sentido antihorario (debido al factor e).

Esto es sobre [matemáticas] -. 7937 + 1.3747i [/ matemáticas]

Answer 5

Tu calculadora tiene fallas. Usando la calculadora de Windows 8.0, suponiendo que no está “trabajando” en ℤ y necesita un sofisticado software matemático todavía, entonces …

en ℝ su sugerencia 1.5874 … es correcta.

-2 ^ 2/3 = (- 2 ^ 2) ^ 1/3 = 4 ^ 1/3 = 1,5874010519681994747517056392723 .

-2 ^ 2/3 = (- 2 ^ 1/3) ^ 2 = (- 1,2599210498948731647672106072782) ^ 2 = = 1,5874010519681994747517056392723 .

Usando \ 3 / a = a ^ 1/3 con un ∈ ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}.

-2 ^ 2/3 = (- 2 ^ 2) ^ 1/3 = 4 ^ 1/3 = ³√4 = 1,5874010519681994747517056392723 .

-2 ^ 2/3 = (- 2 ^ 1/3) ^ 2 = (³√-2) ^ 2 = (- 1,2599210498948731647672106072782) ^ 2 = = 1,5874010519681994747517056392723 .

o

-2 ^ 2/3 = ((- 2 * 1) ^ 2) ^ 1/3 = ((- 1 * 2) ^ 2) ^ 1/3 = ((- 1) ^ 2 * 2 ^ 2) ^ 1/3 = (1 * 4) ^ 1/3 = 4 ^ 1/3 = = ³√4 = 1,5874010519681994747517056392723 .

Para cualquier número real y , hay un número real x tal que x ^ 3 = y . La función de cubo está aumentando, por lo que no da el mismo resultado para dos entradas diferentes, además cubre todos los números reales. En otras palabras, es una biyección, o uno a uno. Entonces podemos definir una función inversa que también sea uno a uno. Para números reales, podemos definir una raíz cúbica única de todos los números reales. Si se utiliza esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número negativo.

Las tres raíces cúbicas de 1

Si se permite que xey sean complejas, entonces hay tres soluciones (si x no es cero) y entonces x tiene tres raíces cúbicas. Un número real tiene una raíz cúbica real y dos raíces cúbicas adicionales que forman un par conjugado complejo. Esto puede conducir a algunos resultados interesantes.

Por ejemplo, las raíces cúbicas del número uno son:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {1}} = {\ begin {cases} \ \ 1 \\ – {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3 }} {2}} i \\ – {\ frac {1} {2}} – {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i. \ End {cases}}} [/ math]

Las dos últimas raíces conducen a una relación entre todas las raíces de cualquier número real o complejo. Si un número es una raíz cúbica de cualquier número real o complejo, las otras dos raíces cúbicas se pueden encontrar multiplicando ese número por una u otra de las dos raíces cúbicas complejas de uno.

raíz cúbica

Answer 6

Sí, la respuesta es 1.5874 … absolutamente correcta cuando lo has hecho en una calculadora científica

El hecho es que hay anomalías mientras calcula las matemáticas desde una calculadora móvil, aunque puede obtenerlas como, (una calculadora es una calculadora y ¿qué diferencia hace eso?) Pero déjeme decirle, mientras calcula desde el teléfono, no resuelve las expresiones análogas internas como en la misma expresión anterior lo que ha preguntado, no sabe qué hacer con la potencia 2/3 … técnicamente no puede expandir 2/3, ¿verdad? Puedes ? Intentalo.

Puede expandirlo cuando tiene un frente decimal.

Y además, el dígito es negativo, otra anología en la que la calculadora al principio no debe negar que al hacer eso positivo recíprocando Ie -2 será 1/2 y luego se divide y 0.5 resulta ser la respuesta …

Usted ve que hay una anología interna, incluso ahora la calculadora científica alimentará directamente la serie (0.5) ^ 6.66 y la respuesta será 1.5….

¡Prescribiría que cuando hace matemáticas, no importa cuán pequeño sea el trabajo o una tarea no recursiva, recomendaría usar una calculadora ya que es por eso que se hizo la invención! 🙂

Answer 7

A2A: Su calculadora no es competente para manejar la situación cuando la respuesta a un problema es un número complejo. Wolfram Alfa no es tan limitado. Vea la respuesta provista allí. No es sorprendente que el número real que pensaste que debería ser la respuesta sea la magnitud de la respuesta compleja correcta. Pero no puede ignorar el signo menos. Tampoco puedes factorizar el exponente a 2 * (1/3) y exponer dos veces.

Answer 8

La calculadora de Google, al parecer, no tiene una función incorporada para calcular raíces complejas. Sin embargo, de alguna manera, simplemente ingresando la expresión en el motor de búsqueda produce la respuesta. Sospecho que la razón de esto es desconocida incluso para los desarrolladores de la calculadora, y quizás para todos en Google, principalmente porque, racionalmente hablando, no puede haber una razón. Cualquier explicación para esta anomalía se me escapa, y solo puedo aconsejarle que use el motor de búsqueda para evaluar rápidamente expresiones complejas.

Answer 9

Sin duda, calculó [matemática] 2/3 [/ matemática] antes de elevar [matemática] -2 [/ matemática] a una potencia. Calcular [matemáticas] 2/3 [/ matemáticas] en una calculadora o computadora no es exacto, pero algo así como [matemáticas] 0.6666666666666666 [/ matemáticas]. Entonces [math] -2 [/ math] no puede ser elevado a ese poder para obtener un número real.

Las calculadoras simbólicas incluyen algunas reglas de reescritura, como una que permite que [math] (- 2) ^ {2/3} [/ math] se escriba como [math] \ sqrt [3] {(- 2) ^ 2} [/ matemáticas].

Answer 10

Un exponente fraccionario funciona así:

x √a ^ b

Donde x representa el índice / numerador raíz (2 en este caso solo sería una raíz cuadrada).

Ahora, en su ejemplo, un número negativo se eleva a un exponente fraccionario.

Expresado con radicales:

√-2 ^ 3

Simplificado en:

√-8

¿Ves el problema?

Es un exponente negativo, también conocido como un número imaginario.

Esto normalmente se escribe como 8 i.

La calculadora de Google no admite esta notación o números imaginarios / números complejos en general; Si se ingresa esta ecuación, se producirá un error (ergo, su captura de pantalla anterior).

Cuando se evalúa, (-2) ^ (2/3) no debe ser igual a 1.5874.

1.5874 es igual a 2 ^ (2/3).

Recuerde, un número negativo elevado a una potencia impar siempre es negativo.

Y como tal, (-2) ^ 3 = -8.

Gracias por la pregunta!

Answer 11

La calculadora está mal. En realidad existe una solución real. La calculadora está equivocada porque realmente no puede usar el valor 2/3. Calcula la fracción y la aproxima. Luego intenta calcular la exponencial, pero no puede, porque la aproximación que usa, si se expresa como una fracción, tiene un denominador impar

Answer 12

Como un número negativo tiene una orientación opuesta (180 °), tenemos que la raíz de un número negativo está de lado (90 °). Ese no es un escenario realista , y por lo tanto produce un error.

Podemos imaginar que estos ‘ números laterales ‘ existen, y que (-2) ^ (2/3) está en dos tercios de un turno, a 120 °, pero haría las cosas bastante complejas .

Answer 13

esto nuevamente es la falla en el uso del paréntesis que causa la respuesta ambigua. / 3｝ ² obtienes el cuadrado del cuberoot de -2, que es un número complejo. Una calculadora normal te da la respuesta anterior, una calculadora gráfica HP te dará la última si se usa un paréntesis adecuado.

Answer 14

La razón por la cual una calculadora estándar no puede hacer este cálculo es porque al hacer 2 ^ 2/3 efectivamente está enraizando el cubo -2 y luego cuadrando la respuesta, lo que no se puede hacer con números reales. Esto se debe a que los negativos no tienen raíces reales. Por lo tanto, obtienes un error matemático.

Answer 15

un número negativo tiene tres raíces cúbicas diferentes, para el negativo ocho, por ejemplo, uno es -2 como era de esperar, pero los otros dos involucran i, la raíz cuadrada del negativo. 1 + i√3 y 1 − i√3.

Está utilizando la calculadora de Google, que tiene algo de inteligencia artificial incorporada para tratar de adivinar qué respuesta le interesa. Si le pide que eleve algo al poder de (1/3), le dará la respuesta más obvia, si usted si le pides que eleve algo al poder de (o.33333333) obtendrás una respuesta diferente, y si le pides que lo eleve al poder de (2/3) deja de intentar adivinar cuál de los dos tres posibles respuestas que te gustaría.

Answer 16

Pones (-2) ^ (2/3).

Entonces la calculadora lo resuelve como

(-2) ^ (2/3) = (-2) ^ (0.66666…) = Error

Error porque la respuesta es imaginaria (raíz del número negativo) y no está definida en los algoritmos de esta calculadora.

Answer 17

Las calculadoras no son lo suficientemente inteligentes como para pensar: OK, cuadremos y luego tomemos la raíz cúbica. En cambio, está elevando -2 a una potencia de número real no entera. En ese caso, tiene que tomar un logaritmo de un número negativo, y eso no se puede definir entre los números reales.

Answer 18

Hm. eso es raro. Un método alternativo para calcular esto sería elevar al cuadrado el número y luego raíz cuadrada, o raíz cuadrada y luego cuadrado. Probablemente sea solo una calculadora tonta. La calculadora de Google proporciona un número complejo, que no es correcto en absoluto. Tu respuesta es correcta.

Answer 19

Sí, debería ser 1.58740 … No estoy seguro de qué calculadora está usando, pero podría no admitir exponentes no enteros (lo que la convertiría en una calculadora realmente tonta).

También es posible que la calculadora esté tratando de dividir el problema en sqrt ((- 2) ^ 3) y que algo salga mal durante ese proceso de simplificación.

Cuando probé para obtener su respuesta de 1.5874, lo hice con una pésima aplicación de calculadora de Chromebook que no admitía paréntesis, por lo que utilicé una entrada de -2 ^ 0.666666666 en su lugar. podrías intentar hacer eso.

o podrías encontrar una calculadora diferente. Honestamente, abandonaría una calculadora la primera vez que muestra un comportamiento tan extraño, ¡tal vez sea propenso a algún día dar una respuesta incorrecta sin arrojar un error!

Editar: no hay números complejos involucrados en este cálculo, ya que el exponente tiene un denominador impar. el exponente necesitaría ser un entero INCLUSO para tener solo soluciones complejas.