¿Cuál es el número posible de polinomios cuadráticos de la forma: [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática], dadas las condiciones mencionadas en los detalles?

Answer 1

De (a), obtenemos [math] a \ neq b \ neq c \ neq a [/ math].

(b) es sencillo.

De (c), después de la división sintética, obtenemos el término restante [matemáticas] a + cb = 0 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow b = a + c [/ math]

[matemática] a \ neq c [/ matemática], así que considere [matemática] a <c [/ matemática]. El número de soluciones reales será exactamente el doble de las soluciones obtenidas después de esta restricción.

Entonces, para [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas],

[matemáticas] (1,3,2) [/ matemáticas]

Para [matemáticas] b = 4 [/ matemáticas],

[matemáticas] (1,4,3) [/ matemáticas]

Para [matemáticas] b = 5 [/ matemáticas],

[matemáticas] (1,5,4), (2,5,3) [/ matemáticas]

Para [matemáticas] b = 6 [/ matemáticas],

[matemáticas] (1,6,5), (2,6,4) [/ matemáticas]

Para [matemáticas] b = 7 [/ matemáticas],

[matemáticas] (1,7,6), (2,7,5), (3,7,4) [/ matemáticas]

Entonces, podemos observar un patrón: [matemáticas] 1, 1, 2, 2, 3, 3,… [/ matemáticas]

Entonces, para [matemáticas] b = impar [/ matemáticas], obtenemos una progresión aritmética con el primer término como [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y la diferencia común como [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. El primer número impar en este caso es [matemática] 3 [/ matemática], por lo tanto, los números impares se pueden representar como [matemática] 2n + 1 [/ matemática], donde [matemática] n \ in \ mathbb {Z} [ /matemáticas].

Entonces, [matemáticas] 2n_1999 + 1 = 1999 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto n_1999 = 1000 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] nuestra serie es: [matemáticas] 1, 1, 2, 2, 3, 3,…, 999, 999, 1000. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {N} {2} = 2 \ frac {999 \ veces 1000} {2} +1000 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ frac {N} {2} = 999 \ veces 1000 + 1000 = 1000 \ veces 1000 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto N = 2000000 [/ matemáticas]

Answer 2

Como x + 1 está dividiendo la expresión x = -1, la sustitución debería dar 0. por lo tanto a * (- 1) ^ 2 + b * (- 1) + c = 0, es decir, a-b + c = 0; b = a + c ;

Entonces b puede tomar valor de 3 a 1999. Si b = 1999 a puede tomar valor de 1 a 1998.

En general, para b = r habrá combinaciones de r-1. Sin embargo, si b es incluso uno de estos conjuntos tendrá [matemática] a = c = \ frac {b} {2} [/ matemática] que debe rechazarse. Entonces, el número de rechazos es igual al número de números pares entre 3 y 1999. Esto es 998 . Entonces, el número total de combinaciones es [matemáticas] \ sum_ {r = 3} ^ {1999} (r-1) = \ left [\ frac {(r-1) * r} {2} \ right] _ {r = 1999} – \ left [\ frac {(rr) * r} {2} \ right] _ {r = 2} -998 = \ frac {1998 * 1999} {2} – \ frac {1 * 2} { 2} -998 [/ matemáticas]

[matemáticas] = [/ matemáticas] 1996002