Cómo factorizar [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2 – 4x + 1 [/ matemáticas]

Answer 1

Esta es una muy buena pieza de matemáticas. Esto se conoce en el mundo matemático con el nombre de ecuación recíproca. Esto es muy interesante de calcular. Entonces, saltemos rápido.

[matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2-4x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 [x ^ 2 + 4x + 2- \ dfrac {4} {x} + \ dfrac {1} {x ^ 2}] [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 [(x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2}) + 4 (x- \ dfrac {1} {x}) + 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 [(x- \ dfrac {1} {x}) ^ 2 + 2 + 4 (x- \ dfrac {1} {x}) + 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 [(x- \ dfrac {1} {x}) ^ 2 + 4 (x- \ dfrac {1} {x}) + 4] [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 [(x- \ dfrac {1} {x}) ^ 2 + 2.2 (x- \ dfrac {1} {x}) + 2 ^ 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 [x- \ dfrac {1} {x} +2] ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = [x ^ 2 + 2x-1] ^ 2 [/ matemáticas]

Así es como debes hacerlo.

FYI, también hay otro método, pero lamentablemente no puedo escribirlo usando LATEX. Si pudiera, lo habría escrito. Entonces, al quedarme sin otra forma, tengo que subir una foto. Entonces, sigamos con eso.

Espero que esto ayude y no te olvides de votar.

Answer 2

Factoriza un polinomio cuártico al encontrar sus cuatro raíces. Este es un cuarto con la forma especial [matemáticas] Q (x) = x ^ 4 + mx ^ 3 + nx ^ 2 – mx + 1 [/ matemáticas] La expresión general para encontrar las raíces de los cuartos es bastante larga y compleja pero para este caso especial es mucho más fácil porque si [math] r [/ math] es la raíz de este cuarto, entonces también lo es [math] – \ frac {1} {r} [/ math] Eso puede verificarse fácilmente sustituyendo en el cuarto y multiplicar por [matemáticas] r ^ 4 [/ matemáticas] para volver a la misma forma cuártica. Es decir, [matemáticas] r ^ 4Q (- \ frac {1} {r}) = Q (r) [/ matemáticas]

Siendo ese el caso, sabemos que las cuatro raíces tendrán la forma [matemática] r [/ matemática], [matemática] – \ frac {1} {r} [/ matemática], [matemática] s [/ matemática], [matemáticas] – \ frac {1} {s} [/ matemáticas] y el cuarto debe factorizar en la forma

[matemática] Q (x) = (x ^ 2 + ax-1) (x ^ 2 + bx-1) [/ matemática] donde [matemática] a = r- \ frac {1} {r} [/ matemática] y [matemáticas] b = s- \ frac {1} {s} [/ matemáticas]

expandiendo esto y comparándolo con la forma original para el cuarto da

[matemáticas] a + b = m [/ matemáticas] y [matemáticas] ab-2 = n [/ matemáticas]

Esto significa que [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​raíces de la cuadrática [matemática] x ^ 2-mx + n + 2 [/ matemática] así que las raíces de un cuarto de esta forma se puede encontrar resolviendo tres cuadráticos.

En el caso especial dado [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​raíces de [matemática] x ^ 2-4x + 4 = (x-2) ^ 2 [/ matemática] entonces [matemática ] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​iguales a [math] 2 [/ math] y [math] Q (x) = (x ^ 2 + 2x-1) ^ 2 [/ math ]

Los factores cuadráticos se pueden factorizar aún más en la forma estándar para encontrar las raíces dando

[matemáticas] Q (x) = (x + 1- \ sqrt {2}) ^ 2 (x + 1 + \ sqrt {2}) ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2–4x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 + 4x ^ 3–4x [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 + 4x (x ^ 2–1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 4–2x ^ 2 + 1 + 4x (x ^ 2–1) + 4x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2–1) ^ 2 + 4x (x ^ 2–1) + 4x ^ 2 [/ matemáticas]

Deje [math] m = x ^ 2–1 [/ math]

Esto convierte el polinomio en

[matemáticas] m ^ 2 + 4mx + 4x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (m + 2x) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2 + 2x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Hecho

Gracias por la A2A

Answer 4

Veo que la mayoría de las respuestas aquí de alguna manera ‘mágicamente’ hacen una sustitución / agrupación de los elementos sin una explicación clara de por qué lo hace. Parece más o menos adivinar sin una forma definida de factorizar esto. Te mostraré un pequeño truco que aprendí hace varios años.

Si tiene una calculadora, puede encontrar fácilmente las raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2-4x + 1 = 0 [/ matemáticas]. Son

(En este caso, uso WolframAlpha, pero las calculadoras más avanzadas tienen la capacidad de encontrar las raíces de una ecuación dada)

Puede observar que -2.4142 + 0.41421 = -2 y -2.4142 × 0.41421 = -1 (redondeo porque las raíces son aproximadas). Recordemos las fórmulas de Vieta, estas dos raíces son también las raíces de la ecuación cuadrática [matemáticas] x ^ 2 + 2x – 1 = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la expresión [matemática] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2-4x + 1 [/ matemática] se puede expresar como un producto de [matemática] x ^ 2 + 2x – 1 [/ matemática]. Al agrupar los elementos adecuadamente, obtendrá:

[matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2-4x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 4 + 2x ^ 3-x ^ 2) + (2x ^ 3 + 4x ^ 2-2x) + (-x ^ 2-2x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 (x ^ 2 + 2x-1) + 2x (x ^ 2 + 2x-1) – (x ^ 2 + 2x-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2 + 2x-1) (x ^ 2 + 2x-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2 + 2x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esta técnica solo funciona si el polinomio de cuarto grado es producto de dos polinomios de segundo grado y uno de ellos debe tener raíces reales.

Answer 5

Tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2–4x + 1 = x ^ 4-2x ^ 2 + 1 + 4x (x ^ 2-1) + 4x ^ 2 [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] x ^ 2–1 = y [/ matemáticas]

La ecuación anterior se simplifica a [matemáticas] y ^ 2 + 4xy + 4x ^ 2 = (y + 2x) ^ 2 = (x ^ 2 + 2x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Para concluir, [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2–4x + 1 = (x ^ 2 + 2x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Hemos terminado.

(Vale la pena señalar que el método de Affa Au es bastante difícil en este caso, ya que esta ecuación no tiene raíces enteras).

Answer 6

Otro método

A veces, es difícil descubrir una factorización de una gran cantidad de expresión. Por lo tanto, sustituimos x para que sea un número y tratamos de hacer una factorización numérica, que debería ser mucho más fácil que la factorización algebraica.

Para simplificar, elegimos x es igual a 10. La expresión completa se convierte en 14161.

Después de la simplificación, deberíamos obtener [matemáticas] 14161 = 7 ^ 2 \ veces 17 ^ 2 [/ matemáticas]

Como los coeficientes de todos los términos son bastante pequeños, es imposible tener una factorización como [math] (x-3) ^ 2 (x + 7) ^ 2 [/ math]

De hecho, no debería haber un factor como (x + 7), por lo que quedan dos opciones:

[matemáticas] 7 \ veces 2023 [/ matemáticas] o [matemáticas] 119 ^ 2 [/ matemáticas]

Es imposible tener 2023 como factor porque el factor, en términos algebraicos, debe escribirse como [matemáticas] 2x ^ 3 + 2x + 3 [/ matemáticas], que tiene un coeficiente indeseable de [matemáticas] x ^ 3 [/ matemática] término. Entonces solo nos queda una opción:

[matemáticas] (x ^ 2 + 2x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 7

Espero que sea fácil ver que si prueba el teorema del factor para todos los factores de la constante +1, debe probar + o -1. Esto no hace que f (x) = 0, por lo tanto, significa que x + 1 y x-1 no son factores de f (x). Intente usar el cambio de signo para ubicar al menos un factor de la forma x + a con un no entero. Mejore el valor de a utilizando el algoritmo numérico de Neuton Rampson hasta la convergencia, si es posible. Usa la división de Euclides para encontrar un polinomio de tercer grado. Repita lo anterior hasta encontrar todos los factores.

Answer 8

Factoriza x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2−4x + 1

(x ^ 2-1) ^ 2 + 4x (x ^ 2-1) + 4x ^ 2

Deje y = x ^ 2-1

y ^ 2 + 4yx + 4x ^ 2

(m + 2x) ^ 2

(x ^ 2 + 2x-1) ^ 2

Ayuda de álgebra

Answer 9

Answer 10

Si solo quieres obtener la respuesta, usar Mathica es una manera fácil.

Como todos sabemos, podemos factorizar cualquier polinomio en pasos finitos. el algoritmo se muestra a continuación. (de Algebra, BLvan der waerden página 97)

También puede ver el método aquí. Factorización de polinomios

Answer 11

Usando el teorema de la raíz racional, las únicas raíces racionales posibles son 1 y -1.

Cuando haces una división sintética, ninguna de estas dos posibilidades se divide perfectamente en el polinomio original, lo que significa que es imposible factorizar racionalmente esta expresión.

Answer 12

Los primeros dos términos, x ^ 4 + 4x ^ 3, deberían recordarle

(x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1.

Hay varias formas de ver eso

x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2–4x + 1 = (x + 1) ^ 4–4 (x + 1) ^ 2 + 4 = [(x + 1) ^ 2–2] ^ 2 = ( x ^ 2 + 2x-1) ^ 2.

Podría usar un cambio de variable u = x + 1.

Podrías “completar el cubo”.

Podrías darte cuenta de eso

(x + 2) ^ 4 -4 (x + 1) ^ 2 te da exactamente los primeros cuatro términos de tu polinomio.