Si [matemática] a + b + c + d = 10 [/ matemática] con [matemática] c = d [/ matemática] y [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 30 [ / math] donde [math] a, b, c, d [/ math] son ​​números reales positivos, ¿cuál es el mayor valor posible de c?

Answer 1

Comencé a hacer esto con los multiplicadores de Lagrange y rápidamente obtuve [math] a = b [/ math]. Eso parece razonable por la simetría del problema. Eso reduce el problema a una ecuación cuadrática, y la única maximización proviene de elegir el signo + en la raíz cuadrada.

[matemáticas] a ^ 2 + c ^ 2 = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + c = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + c) ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 + 2ac = 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2ac = 25 – 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] a = 5 / c [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 / c + c = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 + c ^ 2 = 5c [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2–5c + 5 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = \ frac {1} {2} (5 \ pm \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

Tengo que ir con el + para obtener una respuesta final:

[matemáticas] c = \ frac {1} {2} (5 + \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

Cheque:

[matemáticas] a = \ frac {1} {2} (5 – \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 = \ frac {5} {2} (3 – \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 = \ frac {5} {2} (3 + \ sqrt {5}) [/ matemáticas]

[matemáticas] a + c = 5 \ \ marca de verificación [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + c ^ 2 = 15 \ \ marca de verificación [/ matemáticas]

---

Aquí es hasta donde llegué en los multiplicadores de Lagrange:

[matemáticas] F = c + \ alpha (a + b + 2c) + \ beta (a ^ 2 + b ^ 2 + 2c ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = \ frac {\ partial F} {\ partial a} = \ alpha + 2 a \ beta. \ \ \ \ \ a = – \ frac {\ alpha} {2 \ beta}. [/ math]

[matemáticas] 0 = \ frac {\ partial F} {\ partial b} = \ alpha + 2 b \ beta. \ \ \ \ \ \ b = – \ frac {\ alpha} {2 \ beta}. [/ math]

[matemáticas] a = b [/ matemáticas]

Answer 2

Este es un simple problema de optimización. Puede establecer la función objetivo como 1 / c, y la restricción es c = d; a + b + c + d = 10; a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 30.

Puede usar la optimización de Lagrange o el Descenso de degradado para encontrar el valor mínimo de la función objetivo, el máximo de C.

Si no se siente cómodo con la informática manual, puede usar la herramienta de optimización de EXCEL para resolverlo en 30 segundos y el valor que obtuve es, a = 1.381956; b = 1.381976; c = 3,618034; d = 3,618034.

Answer 3

Suponiendo [matemáticas] a, b, c, d \ in \ R [/ matemáticas].

¿Cuál es el mayor valor posible de [math] c [/ math] si:

[matemáticas] a + b + c + d = 10 [/ matemáticas] (* esta condición es irrelevante *) EDITAR: es relevante

y [matemáticas] c = d [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 30 [/ matemáticas] – estos dos son todo lo que necesitamos.

Sustituyendo [matemática] c [/ matemática] por [matemática] d [/ matemática]: [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + 2c ^ 2 = 30 [/ matemática].

Todos los cuadrados en [math] \ R [/ math] no son negativos, y para maximizar el valor de [math] c [/ math] necesitamos minimizar el valor de [math] a ^ 2 [/ math] y [math] b ^ 2 [/ matemáticas].

ADVERTENCIA: este no es el resultado correcto: entonces obtenemos [matemática] 0 + 0 + 2c ^ 2 = 30 [/ matemática] y [matemática] c = \ sqrt {15} [/ matemática]

Answer 4

Podemos suponer que [math] a = b [/ math], ya que si ambos son más pequeños que [math] 1 [/ math], tenerlos iguales minimiza la suma de sus cuadrados para una suma dada de [math] a + b [/ matemáticas]. La razón por la que queremos esto es que tomar tanto [math] a = b = 0 [/ math] como [math] c = d = \ sqrt {15} [/ math] (la mejor solución para la suma de los cuadrados) No satisface la primera restricción. Tendremos que aumentar [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] pero queremos aumentar la suma de sus cuadrados lo menos posible.

Sea [math] a = b [/ math] y [math] c = d [/ math]. Podemos reescribir nuestras restricciones como [matemáticas] 2a + 2c = 10 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2a ^ 2 + 2c ^ 2 = 30 [/ matemáticas]. Por supuesto, esto se simplifica a [matemáticas] a + c = 5, a ^ 2 + c ^ 2 = 15 [/ matemáticas].

Ahora podemos usar [matemáticas] a + c = 5 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] a = 5-c [/ matemáticas]. La segunda restricción se convierte en [matemáticas] (5-c) ^ 2 + c ^ 2 = 15 [/ matemáticas]. Esto puede reescribirse como una ecuación cuadrática con soluciones [matemáticas] c = \ frac {\ pm \ sqrt {5} +5} {2} [/ matemáticas]. El valor más grande de [math] c [/ math] es, por lo tanto, [math] \ frac {\ sqrt {5} +5} {2} [/ math].

Answer 5

Deje [math] a + b = 2k [/ math] tal que [math] a = k – x [/ math] y [math] b = k + x \ implica a ^ 2 + b ^ 2 = 2 (k ^ 2 + x ^ 2). [/ Matemáticas]

Tenemos,

[matemáticas] k + c = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] (k ^ 2 + x ^ 2) + c ^ 2 = 15 [/ matemáticas]

Usando [math] k = 5 – c [/ math] en la segunda ecuación, obtenemos

[matemáticas] (5 – c) ^ 2 + x ^ 2 + c ^ 2 = 15 [/ matemáticas]

Al expandirse y reorganizarse, esto se convierte en:

[matemática] c ^ 2 – 5c + \ left (5 + \ dfrac {x ^ 2} {2} \ right) = 0 [/ math]

El discriminante de esta ecuación cuadrática es [matemática] 25 – 4 \ izquierda (5 + \ dfrac {x ^ 2} {2} \ derecha) [/ matemática] que debe ser mayor que [matemática] 0 [/ matemática] existir soluciones en reales para [math] c [/ math] que cuando [math] x \ in [- \ sqrt {5/2}, \ sqrt {5/2}] [/ math].

Por lo tanto, para un valor particular de [matemática] x [/ matemática], la solución a la [matemática] c [/ matemática] más grande en términos de [matemática] x [/ matemática] es [matemática] c = \ dfrac {5 + \ sqrt {5 – 2x ^ 2}} {2}, [/ math] que nuevamente es el más grande cuando [math] x ^ 2 [/ math] es el menor. Por lo tanto, [math] x ^ 2 = 0 \ implica [/ math] valor máximo posible para [math] c = \ dfrac {5+ \ sqrt {5}} {2}. [/ Math]

Answer 6

Con [math] d [/ math] reemplazado por [math] c [/ math], la pregunta tiene una interpretación geométrica. Entonces [matemática] a + b + 2c = 10 [/ matemática] es un plano en 3D, intersectando el eje [matemático] a [/ matemático] en [matemático] (10,0,0) [/ matemático], el [matemática] b [/ matemática] eje en [matemática] (0,10,0) [/ matemática] y el eje [matemática] c [/ matemática] en [matemática] (0,0,5) [/ matemáticas].

Se cruza con el elipsoide [matemático] ligeramente oblato (aplanado) a ^ 2 + b ^ 2 + 2 c ^ 2 = 30 [/ matemático], cortando una parte del hemisferio norte.

Se ve fácilmente que la intersección es una elipse 2D, que se puede proyectar en el plano [matemática] a = b [/ matemática], reduciendo esto a un problema 2D:

[matemáticas] 2a + 2c = 10 \ implica a ^ 2 = 5 ^ 2 -10c + c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2a ^ 2 + 2c ^ 2 = 30 \ implica a ^ 2 = 15 – c ^ 2 [/ matemáticas]

Igualar y reorganizar los rendimientos:

[matemáticas] 2c ^ 2 – 10c + 10 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] c ^ 2 – 5c + 5 = 0 [/ matemáticas]

Ahora aplique la fórmula abc y tome la solución máxima:

[matemáticas] c_ {max} = \ frac {5} {2} + \ frac {\ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Answer 7

(1) a + b = 10-2c
(2) a ^ 2 + b ^ 2 = 30-2c ^ 2
Cuadrado (1) luego menos (2), tenemos
(3) ab = 3c ^ 2-20c + 35

De (1) (3) sabemos que a, b son las raíces de
x ^ 2- (10-2c) * x + (3c ^ 2-20c + 35) = 0.

Entonces el (10-2c) ^ 2-4 (3c ^ 2-20c + 35)> = 0
Simplifica eso, tenemos
c ^ 2-5c + 5 <= 0
Max de c es 1/2 (5 + sqrt (5))

Answer 8

Método II

Puede verse como un problema de optimización.

Deje que [matemáticas] F = c + \ lambda (a + b + 2c-10) + \ mu (a ^ 2 + b ^ 2 + 2c ^ 2-30) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ partial F} {\ partial a} = \ lambda + 2 \ mu a …… (3) [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ partial F} {\ partial b} = \ lambda + 2 \ mu b …… (4) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ partial F} {\ partial c} = 1 + 2 \ lambda + 4 \ mu c …… (5) [/ matemáticas]

Agregar [matemáticas] (3) [/ matemáticas], (4) y [matemáticas] (5) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + 4 \ lambda + 2 \ mu (a + b + 2 c) = 0 [/ matemáticas] Dado que [matemáticas] a + b + 2 c = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + 4 \ lambda + 20 \ mu = 0 …… (6) [/ matemáticas]

Multiplicar [matemática] (3) [/ matemática] por a, [matemática] (4) [/ matemática] por [matemática] b [/ matemática] y [matemática] (5) [/ matemática] por [matemática] c [ / math] y agregando

[matemáticas] c + \ lambda (a + b + 2c) +2 \ mu (a ^ 2 + b ^ 2 + 2c ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] c + 10 \ lambda +60 \ mu = 0 …… (7) [/ matemáticas]

[matemática] (5) [/ matemática], [matemática] (6) [/ matemática] y [matemática] (7) [/ matemática] no contienen [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ math] podemos eliminar [math] \ lambda y \ mu [/ math] usando condiciones de consistencia.

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & 2 & 4c \\ 1 & 4 & 20 \\ c & 10 & 60 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

expandiendo el determinante

[matemáticas] c ^ 2–5c + 5 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] c = \ dfrac {5 \ pm \ sqrt 5} 2 [/ matemáticas]

Dado que se requiere un valor máximo

[matemáticas] \ boxed {c_ \ text {max} = \ dfrac {5+ \ sqrt 5} 2} [/ math]

Método I (escrito el 8 de abril)

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + 2c ^ 2 = 30 …… (1) [/ matemáticas] y

a [matemáticas] + b + 2c = 10 [/ matemáticas]. de esto

[matemáticas] a + b = 10–2c [/ matemáticas]. Cuadratura,

[matemáticas] a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 100–40c + 4c ^ 2… .. (2) [/ matemáticas]

Multiplicando (1) por 2 y restando (2) de él,

[matemáticas] a ^ 2-2ab + b ^ 2 = -40–40c-8c ^ 2 = -8 (c ^ 2–5c + 5) = – \ left \ {\ left (c- \ dfrac {5} { 2} \ right) ^ 2- \ dfrac {5} {4} \ right \} [/ math]

Reorganizando

[matemáticas] \ left (c- \ dfrac {5} {2} \ right) ^ 2 = \ dfrac {5} {4} – \ dfrac {(ab) ^ 2} {8} [/ math]

Para que c sea máximo ab debe ser 0.

Simplificando obtenemos [matemáticas] \ boxed {\ boxed {c_ {max} = \ dfrac {5+ \ sqrt 5} {2}}} [/ math]