La respuesta de Daniel McLaury es completamente precisa, pero hace poco para explicar por qué la teoría de los espacios perfectos es tan importante. Intentaré hacer eso aquí, aunque sea de forma algo vaga y muy breve. No pretendo tener experiencia en esta área en particular, pero sé una o dos cosas y sigo aprendiendo, tanto porque quiero tener un conocimiento práctico de la teoría como porque sospecho que tendré que hacerlo a su debido tiempo. En particular, se espera que los espacios perfectos cambien fundamentalmente la práctica y la enseñanza de la geometría algebraica a su debido tiempo. No me definiré como un geómetra algebraico (después de todo, no soy matemático, solo un estudiante, al menos en este momento), pero muchos de mis intereses se encuentran en el campo o al menos utilizan sus métodos.
En teoría de números, a menudo tenemos la situación en la que los problemas son más fáciles cuando trabajamos en la característica [matemática] p [/ matemática] (para [matemática] p [/ matemática] un primo), por lo que siempre hemos deseado una buena conexión entre la característica [matemática] 0 [/ matemática] – el caso básico – y característica [matemática] p [/ matemática] – el caso útil para resolver problemas. El trabajo de Scholze ofrece una herramienta para hacer esto. De manera algo más precisa, la teoría de los espacios perfectos nos da un functor entre los objetos geométricos en la característica [matemática] 0 [/ matemática] y los objetos geométricos en el carácter [matemática] p [/ matemática]. El trabajo de Scholze existe en el ámbito de la geometría aritmética, donde las herramientas de la geometría algebraica se aplican a problemas en la teoría de números, por lo que tiene sentido que los objetos en cuestión sean geométricos. El trabajo recupera muy bien los resultados en la teoría de Hodge [matemática] p [/ matemática] -adic al considerar casos especiales.
En geometría algebraica en general, tomar un anillo de características mixtas [matemáticas] (0, p) [/ matemáticas] a uno de características [matemáticas] p [/ matemáticas] es muy útil. El artículo original de Scholze da una generalización a un importante teorema de Fountaine y Wintenberg, que establece que existe un isomorfismo canónico de grupos absolutos de Galois [matemáticas] G (\ mathbb {Q} _p (p ^ {1 / p ^ {\ infty }})) \ cong G (F_p ((t)) [/ math]. Él puede hacer esto esencialmente debido al principio de transferencia dado por los espacios perfectos. Senia Sheydvasser comentó en los comentarios que esto seguramente revolucionará cómo hacemos y enseñamos (en niveles avanzados) geometría algebraica, y esta es la razón.
Algo que quizás haya escuchado si sigue las matemáticas de alguna manera es el programa Langlands. Este es probablemente el programa más ambicioso en matemáticas modernas, y también se encuentra entre los más sofisticados técnicamente. Hasta ahora, solo los casos especiales más simples se han manejado satisfactoriamente. El programa Langlands puede considerarse como una extensión de la teoría de campo de clase mediante la cual ya no se supone que las extensiones de Galois son abelianas. Como referencia, la teoría de campo de clase clasifica las extensiones abelianas de un campo numérico en extensiones de Galois (véase el teorema de Kronecker-Weber). Alternativamente, se puede pensar que la teoría de campo de clase extiende las leyes de reciprocidad, y Langlands también. En resumen, el programa Langlands es un intento prometedor de una teoría de campo de clase no abeliana. A [matemáticas] \ text {mod} \; El análogo p [/ matemático] de las conjeturas globales de Langlands en una dirección establece que la torsión en la cohomología de espacios localmente simétricos debería dar lugar a representaciones de Galois. Scholze escribió un artículo, que hace un progreso significativo en esta conjetura análoga. Langlands es quizás el programa más difícil de todas las matemáticas, y algunos “niños” (en comparación con la mayoría de los matemáticos que se consideran capaces de tales hazañas) hicieron un avance inesperado como nunca antes se había visto.
- Cómo factorizar [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 2x ^ 2 – 4x + 1 [/ matemáticas]
- Cómo demostrar que no hay una fórmula general para las raíces de ecuaciones polinómicas de orden mayor que 4 usando matemáticas de secundaria
- Si [matemática] a + b + c + d = 10 [/ matemática] con [matemática] c = d [/ matemática] y [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 30 [ / math] donde [math] a, b, c, d [/ math] son números reales positivos, ¿cuál es el mayor valor posible de c?
- Cómo dibujar la tabla para [matemáticas] | y + 2 | = x [/ matemáticas]
- ¿Qué tan sigiloso es un Tu-160 especialmente en comparación con un B-1?
Una forma vaga de ver por qué los espacios perfectos son importantes es la siguiente. Los objetos perfectos son agradables, porque la teoría de Galois se simplifica (no es necesario demostrar la separabilidad); también, obtenemos vectores Witt, que generalizan [math] p [/ math] -adic números en algún sentido. Según la comunicación personal de alguien con quien estoy trabajando en este momento, Scholze pensó por primera vez en los rudimentos de esta teoría cuando tuvo la idea de que hacer que todo sea “perfecto” facilitaría la vida. (Hay más detalles sobre esto, pero esta persona tuvo problemas para contármelos, y no creo que compartir mi relato de una historia un tanto rota sea de mucha utilidad).
Los espacios perfectos requieren mucha maquinaria. No solo se necesita una base sólida en la teoría de esquemas y, de manera ideal, la exposición a la teoría de números algebraicos, sino que también se habrá estudiado una cantidad no trivial de análisis no archimedeano (específicamente geometría de análisis rígido, ver los textos de Bosch sobre el tema), tener cierta familiaridad con el trabajo de Huber en espacios adic (ver las notas de Wedhorn), y algunos conocimientos de casi matemáticas, la invención de Falting (ver el texto de Gabber). La misma persona que me contó sobre la motivación de Scholze también comentó que probablemente uno puede dar por sentado algunas de las matemáticas y aprender menos sobre los espacios adic que lo que otros podrían sugerir, pero que el análisis no archimedeano es clave (ver Cluckers para una referencia extensa) . Esta persona pasó un tiempo en Francia estudiando este trabajo en detalle y conociendo a Scholze varias veces, y trabaja en la teoría de Hodge adética [matemática] p [/ matemática] y áreas relacionadas; Esto combinado con mi propia experiencia relativamente limitada con espacios perfectos me lleva a más o menos la misma conclusión. Creo que vale la pena aprender algunas matemáticas, pero los trabajos de Faltings a menudo se consideran difíciles de leer, así que quizás evítelos.