Me uniré a los demás para decir que no creo que pueda probar esto a su entera satisfacción, sin referirme a un montón de libros.
Pero tal vez te ayude a moverte:
Primero, el resultado podría ser incluso un poco más impactante de lo que podrías imaginar. No es solo que no haya una fórmula general para los polinomios quínticos. Después de todo, eso deja abierta la posibilidad de que tal vez haya dos fórmulas que cubran colectivamente todos los casos.
En cambio, es cierto que hay polinomios específicos cuyas raíces no se pueden escribir utilizando las herramientas familiares de álgebra: una cadena de operaciones de longitud finita que incluye suma, resta, multiplicación, división y exponentes / raíces racionales, comenzando con entradas racionales en el paso 1. Por ejemplo, [matemática] x ^ 5 – x – 1 = 0 [/ matemática] es un polinomio, aunque de ninguna manera es obvio por qué.
- Si [matemática] a + b + c + d = 10 [/ matemática] con [matemática] c = d [/ matemática] y [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 30 [ / math] donde [math] a, b, c, d [/ math] son números reales positivos, ¿cuál es el mayor valor posible de c?
- Cómo dibujar la tabla para [matemáticas] | y + 2 | = x [/ matemáticas]
- ¿Qué tan sigiloso es un Tu-160 especialmente en comparación con un B-1?
- ¿Qué es r en [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {\ alpha} ^ {\ beta} \ int_b ^ af (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) r dr d \ theta [/ math]?
- ¿Cuál es el número posible de polinomios cuadráticos de la forma: [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática], dadas las condiciones mencionadas en los detalles?
¿Como sabemos? Bueno, las raíces de un polinomio disfrutan de ciertas simetrías entre sí. Comience con el caso más fácil: un polinomio cuadrático. Como sabes, las raíces de un polinomio cuadrático son números reales distintos o números complejos conjugados. La “conjugación” es una simetría, en el sentido de que si comienza con una raíz compleja de un polinomio cuadrático y escribe alguna fórmula válida, puede reemplazar la raíz original por su conjugado y aún así obtener una fórmula válida.
Por ejemplo, tome el polinomio [matemática] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemática], cuyas raíces son [matemática] \ pm i [/ matemática]. ¿Cuáles son algunas fórmulas que puede escribir con una raíz, digamos [math] i [/ math]? No serán muy interesantes, pero, por ejemplo, [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática] es el elemento secundario de lo que es [matemática] i [/ matemática]. Reemplace [math] i [/ math] con [math] -i [/ math] y obtendrá lo mismo. O intente [matemáticas] i ^ 3 = -i [/ matemáticas]. Reemplace [math] i [/ math] con [math] -i [/ math] y obtendrá [math] (- i) ^ 3 = – (- i) [/ math], que también es cierto. Llame a estas simetrías “algebraicas”.
Vayamos un poco más interesante. Tome [matemáticas] x ^ 3 – 1 = 0 [/ matemáticas]. Estas son las raíces, que se muestran sugestivamente con los ejes reales e imaginarios omitidos, pero el círculo unitario dibujado en:
La geometría sugiere algunas simetrías: tal vez podrías rotar el triángulo en sentido horario o antihorario, o voltear el triángulo sobre cualquiera de las tres bisectrices angulares. Resulta que no todos son “simetrías algebraicas”, en el sentido que describí anteriormente, solo lo son un subconjunto.
Además de prueba y error, existen técnicas que se pueden usar para encontrar todas las simetrías algebraicas de las raíces de un polinomio. Esta colección se llama el Grupo Galois del polinomio. Si esa colección tiene una propiedad algebraica particular, que desafortunadamente no puedo explicar de manera intuitiva, entonces el polinomio original se puede resolver mediante radicales.
Pero tal vez pueda decir un poco más.
Considere un proceso en el que intente escribir las raíces de un polinomio hacia abajo, utilizando radicales. Comience con los números racionales. Eso podría no llegar hasta el final. Por ejemplo, en el polinomio [matemática] x ^ 3 – 1 = 0 [/ matemática] cuyas raíces se muestran arriba, en algún momento necesitará escribir [matemática] \ exp (2 \ pi i / 3) [/matemáticas].
En nuestro proceso, cuando llegas a algo que no puedes escribir con lo que tienes hasta ahora, digamos que puedes “agregar” un número irracional. Por ejemplo, supongamos que agrego [math] \ exp (2 \ pi i / 3) [/ math], que llamaré [math] \ omega [/ math] por conveniencia, a lo que se me permite escribir, junto con los racionales. Entonces ahora puedo usar [math] \ omega [/ math] junto con números racionales, junto con sumas, productos, cocientes, raíces, etc. ¿Qué puedo obtener? También puedo obtener [math] \ omega ^ 2 [/ math], que no es coincidencia con la otra raíz de la ecuación original.
Para la notación, llame a los números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Si “arroja” un número irracional, como [math] \ omega [/ math], llame a la colección resultante de números [math] \ mathbb {Q} [\ omega] [/ math]. En otras palabras, [math] \ mathbb {Q} [\ omega] [/ math] es todas las sumas (finitas), diferencias, productos, cocientes, etc. de números racionales junto con [math] \ omega [/ math] . Esto se llama una extensión de campo. Más explícitamente, esta es una extensión de [math] \ mathbb {Q} [/ math] por [math] \ omega [/ math]. También puede decir que “se adjunta” [matemática] \ omega [/ matemática] a [matemática] \ mathbb {Q} [/ matemática], por lo que no tiene que usar la frase informal “tirar”.
Algunas veces necesitas unir más de un número. Por ejemplo, considere [matemáticas] x ^ 3 – 2 = 0 [/ matemáticas]. Sabemos que una raíz es [math] \ sqrt [3] {2} [/ math], que es irracional. Así que definitivamente tenemos que tirar eso, y pasar de [math] \ mathbb {Q} [/ math] a [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt [3] {2}] [/ math]. Pero eso no nos da los números complejos que necesitamos, por lo que necesitamos otro número más, como [math] \ omega [/ math] en el ejemplo anterior. Resulta que [math] \ mathbb {Q} [\ sqrt [3] {2}, \ omega] [/ math] hace el trabajo y nos permite expresar las raíces de [math] x ^ 3 – 2 [/ math ]
Hay algunas preguntas naturales. Por ejemplo, con [matemáticas] x ^ 3 – 2 [/ matemáticas] contigué dos números. ¿Pero podría haber salido con solo un número, que si fuera lo suficientemente inteligente podría encontrar? (En general, no.) De acuerdo, tal vez no siempre me salga con un número contiguo, pero ¿existe una extensión de campo “más pequeña” en la que pueda escribir las raíces de un polinomio específico? (Sí, se llama el campo de división). ¿En qué sentido, si lo hay, es única la extensión de campo más pequeña? (En … cierto sentido). ¿Qué “pasos” debe tomar para llegar desde [math] \ mathbb {Q} [/ math] hasta el campo de división, ya sea que tenga que adjuntar más de un número o si el orden importa, etc. Y usted podría preguntarse, en cada paso del camino, qué “simetrías algebraicas” posee el número recién unido con respecto a la extensión de campo ya construida.
Resulta que esa última pregunta es la clave para la resolución de los radicales. Pero lo dejaré tentadoramente allí. Ya he pasado por alto una tonelada de detalles técnicos, y realmente no puedo ir mucho más lejos sin llenar esos vacíos.
A modo de aliento, diré que si estás realmente interesado en esta historia, no es “difícil”. Es largo, claro. Pero mi punto es que gravará su capacidad de atención mucho más de lo que gravará su capacidad intelectual. Considere tomar “álgebra abstracta” en la universidad. Desarrollarás muchas otras cosas, pero normalmente desarrollas la maquinaria para entender esta historia en el primer y último tercio del año. Solo trata de no aburrirte demasiado con esa parte del medio. 🙂