¿Cuántos pares diferentes [matemáticas] (x, y); x, y \ in \ mathbb {Z} ^ {+} [/ math] satisface [math] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {n} [/ math], con [math] n [/ math] siendo una constante entera dada [math] \ geq 2 [/ math]?

Answer 1

Por simetría, también podemos suponer [matemáticas] x \ le y [/ matemáticas]. Debemos tener [matemáticas] x> n [/ matemáticas] y [matemáticas] y> n [/ matemáticas]. Deje que [math] x [/ math] sea un candidato para tal par [math] (x, y) [/ math], y veamos cuando existe un [math] y [/ math] que funciona. Resolviendo para [matemáticas] y [/ matemáticas]: [matemáticas] y = nx / (xn) [/ matemáticas]. Entonces [math] (x, y) [/ math] es un par de este tipo siempre que la expresión para [math] y [/ math] se evalúe como un entero [math] \ ge x [/ math]. Esto pone un límite superior de [matemáticas] 2n [/ matemáticas] en [matemáticas] x [/ matemáticas], ya que tendríamos [matemáticas] y 2n [/ matemáticas]. [math] y [/ math] es un número entero iff [math] xn [/ math] es un divisor de [math] nx [/ math]. En general, se puede ver que los pares [matemática] (2n, 2n) [/ matemática] y [matemática] (n + 1, n (n + 1)) [/ matemática] satisfacen. Así que intentemos descubrir qué más funciona.

Tenemos [matemáticas] nx = y (xn) [/ matemáticas]. Si [math] n [/ math] es primo, debe ser un divisor de [math] x [/ math] o [math] y [/ math]. Es decir, [matemáticas] x = kn [/ matemáticas] o [matemáticas] y = kn [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] k [/ matemáticas] [matemáticas]> 1 [/ matemáticas]. En el primer caso, obtenemos [matemáticas] y = n (1 + 1 / (k-1)) [/ matemáticas], lo que implica que [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] k = n + 1 [/matemáticas]. [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] es un caso que ya hemos eliminado. [matemática] k = n + 1 [/ matemática] haría que [matemática] x [/ matemática] fuera demasiado grande. En el segundo caso, [matemáticas] x = k (xn) [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] k = x / (xn) = 1 + n / (xn) [/ matemáticas] es un número entero, lo que implica que [matemáticas] n [/ matemáticas] es un múltiplo de [matemáticas] xn [/ matemáticas], pero esto solo puede ocurrir si [math] xn = 1 [/ math], un caso que ya hemos eliminado. Por lo tanto, no hay soluciones adicionales si [math] n [/ math] es primo.

Ahora deje que [math] n = uvw [/ math] donde [math] u> 1 [/ math] y [math] v> 1 [/ math]. (Estamos permitiendo [matemáticas] w = 1 [/ matemáticas]). Entonces el par [matemáticas] (n + wu, n (v + 1)) [/ matemáticas] satisface. No existe una fórmula simple para el número de pares distintos, ya que esto depende de los factores primos de [matemáticas] n [/ matemáticas]. Sin embargo, dados los factores primos, no es difícil enumerar todos los triples [math] uvw [/ math] aplicables.

Answer 2

EDITAR: N ahora es una constante única, lo que significa que si bien la respuesta sigue siendo cierta, la lógica cambia porque el caso es que todos los primos n no pueden tener soluciones y existen soluciones infinitas para el compuesto n.

Antigua respuesta a continuación:

Para más información, sigue aquí.

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Habrá un número infinito de pares diferentes, simplemente porque por cada número par n, puede tener x = y como solución a la ecuación.

Como hay un número infinito de números pares n, esto significa que debe haber un número infinito de soluciones a la ecuación, independientemente de las posibles soluciones a cualquier ecuación donde n sea impar, lo que definitivamente es posible para muchos n.

Para más información, sigue aquí.

Answer 3

Tenga en cuenta que en todos sus ejemplos uno de los números [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] es un múltiplo de [matemática] n [/ matemática]. El número de tales pares se puede encontrar de la siguiente manera:

Primero, eliminemos las fracciones multiplicando ambos lados por [matemáticas] xyn [/ matemáticas]: [matemáticas] xn + yn = xy [/ matemáticas]. Deje [math] x = pn [/ math] para algunos [math] p [/ math]. Obtenemos: [math] pn ^ 2 + yn = pyn [/ math], que se simplifica a [math] pn + y = py [/ math]. Ahora, si miramos de cerca esto, vemos que podemos reorganizarlo como [math] y = p (y – n) [/ math] vemos que [math] y [/ math] también debe ser un múltiplo de [ matemáticas] p [/ matemáticas]. Diga [math] y = pm [/ math] para algunos [math] m [/ math]. Ahora obtenemos: [matemáticas] pn + pm = p ^ 2m [/ matemáticas] o [matemáticas] n = (p-1) m [/ matemáticas]. Entonces, si encontramos todas las formas de escribir [math] n [/ math] como producto de dos números, podemos encontrar [math] p [/ math] y [math] m [/ math]. Por ejemplo: [matemáticas] 2 = 2 \ veces 1 = 1 \ veces 2 [/ matemáticas], dando las dos respuestas. Para [matemática] 4 [/ matemática] hay [matemática] 3 [/ matemática] formas, y así sucesivamente. Esto corresponde a su observación de que tiene una respuesta para cada divisor.

Comencé con la suposición de que [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] y [/ matemáticas] divide [matemáticas] n [/ matemáticas]. Cuando este no es el caso, podemos obtener soluciones adicionales. Una de esas soluciones es el triplete [matemáticas] 6,10,15 [/ matemáticas].

Veamos qué pasa. Primero, reescribamos nuestra fórmula como [math] n = \ frac {xy} {x + y} [/ math]. Si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son ​​primos, esto no puede tener una solución. Por lo tanto, debemos poder escribir [math] x = kx ‘, y = ky’ [/ math] para algunos [math] k [/ math]. Obtenemos [math] n = \ frac {kx’y ‘} {x’ + y ‘} [/ math]. Ahora se obtiene una solución simple para [matemática] n = x’y ‘[/ matemática], [matemática] k = x’ + y ‘[/ matemática]. De hecho, si tomamos [matemática] x ‘= 2, y’ = 3 [/ matemática] obtenemos la tripleta de solución [matemática] 6, 10, 15 [/ matemática]. Entonces, para [matemáticas] n = 6 [/ matemáticas], la primera parte del método de solución da [matemáticas] (12,12), (18,9), (24,8), (42,7) [/ matemáticas ] y la segunda parte da [matemáticas] (7, 42) [/ matemáticas] y [matemáticas] (10,15) [/ matemáticas]. (Por supuesto, cualquiera de estos puede revertirse). Tenga en cuenta que obtuvimos la solución [matemática] (7,42) [/ matemática] en ambas partes. Esto sucede en la segunda parte cuando usamos [matemática] x ‘= 1 [/ matemática] (o [matemática] y’ = 1 [/ matemática]), por lo que podemos ignorar estas soluciones.